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    (Ⅰ)求证:, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）化简：．

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    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    （Ⅰ）求证：
    sinx
    1-cosx
    =
    1+cosx
    sinx
    ；
    （Ⅱ）化简：
    tan(3π-α)
    sin(π-α)sin(
    3
    2
    π-α)
    +
    sin(2π-α)cos(α-
    7π
    2
    )
    sin(
    3π
    2
    +α)cos(2π+α)
    ．

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    （Ⅰ）求证：
    C
    m
    n
    =
    n
    m
    C
    m-1
    n-1
    ；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
    (1+x)[1-(1+x)n]
    1-(1+x)
    =
    (1+x)n+1-(1+x)
    x
    ；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    （Ⅰ）求证：
    sinx
    1-cosx
    =
    1+cosx
    sinx
    ；
    （Ⅱ）化简：
    tan(3π-α)
    sin(π-α)sin(
    3
    2
    π-α)
    +
    sin(2π-α)cos(α-
    7π
    2
    )
    sin(
    3π
    2
    +α)cos(2π+α)
    ．

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    一、选择题:

    A卷：CCABD    BDCBB    AA

    二、填空题：

    (13)        (14)    (15)    (16)

    三、解答题：

    (17)解：

    由，知，又，由正弦定理，有

    ，∴，，……3分

    ∴  ……………5分

            

             …………8分

    ∵，，  ∴，

    故所求函数为，函数的值域为……………10分

    （18）解：

          记顾客购买一件产品，获一等奖为事件，获二等奖为事件，不获奖为事件，则，，

    （Ⅰ）该顾客购买2件产品，中奖的概率

      ……………4分

      （Ⅱ）的可能值为0，20，40，100，120，200，其中

            ，，

             ，，

            ，……………8分

    的分布列为

                                                                    ……………10分

    的期望

    （元）…………………………………………………………………12分

    （19）解法一：

          （Ⅰ）取中点，连结、，则，

           又， ∴，四边形是平行四边形，

           ∴，又，，

           ∴ ……………………………………………………4分

          （Ⅱ）连结

            ∵，  ∴，

           又平面平面，∴

          而，  ∴

         作于，则，且，为的中点。

    作于，连结，则，

     于是为二面角的平面角。…………………………8分

    ∵，，∴，

    在正方形中，作于，则

    ，

    ∴，∴。

    故二面角的大小为…………………………12分

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

        

    解法二：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，使轴，、分别在轴、轴上。

    （Ⅰ）由已知，，，，，，，

    ∴， ，，

    ∵， ∴，

    又，∴   ………………………………………4分

    （Ⅱ）设为面的法向量，则，且。

    ∵，，

    ∴，取，，，则 ……………8分

    又为面的法向量，所以，

    因为二面角为锐角，所以其大小为…………………………12分

    （20）解：

         （Ⅰ）  ……………………………………………………1分

          （1）当时，由，知，在单调递增
             而，则不恒成立…………………………3分

           （2）当时，令，得

               当时，，单调递增；时， ，单调递减，在处取得极大值。

       由于，所以，解得，即当且仅当时恒成立。

    综上，所求的值为   …………………………7分

    （Ⅱ）等价于，

    下证这个不等式成立。

    由（Ⅰ）知，即，……………9分

    ∴

    …………………………12分

    （21）解：

    （Ⅰ）曲线方程可写为，

    设，则，又设、、

    曲线在点处的切线斜率，则切线方程为，

    即，亦即…………………………3分

    分别将、坐标代入切线方程得，

    ∴，

    由，得

    ，  ①

    ，  ②

    ∴ ……………7分

    ∵，∴，

    则由②式得。

    从而曲线的方程为…………………………8分

    （Ⅱ）轴与曲线、交点分别为、，此时……9分

    当、不在轴上时，设直线方程为。

    若，则、在第一象限，

    由，得，由得，

    ∴………………………………………11分

    因为曲线和都关于轴对称，所以当时，仍有

    综上，题设的为定值…………………………12分

    （22）解：

          （Ⅰ）由，且，得

    当时， ，解得；

    当时，，解得

    猜想：……………………………………………………2分

    用数学归纳法证明如下

    （1）       当时，命题显然成立。………………………………………3分

    （2）       假设当时命题成立，即，那么

             由，得

           

                  于是，当时命题仍然成立………………………………………6分

    根据（1）和（2），对任何，都有…………………………7分

    （Ⅱ）当时，，且对于也成立。

    因此，

    对于，由，得

    ，……………10分

    ，

    综上，………………………………………12分

     

     

     


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