题目列表(包括答案和解析)
设数列的前项和为,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令,数列的前项和为.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,.
设数列的前项和为,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令,数列的前项和为.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,.
设等比数列的前项和为,已知,且(n∈N*),则 ( )
A.200 B.2 C.-2 D.0
设等比数列的前项和为,已知,且
,则( )
A.0 B.2011 C.2012 D.2013
一、选择题:
A卷:CCABD BDCBB AA
二、填空题:
(13) (14) (15) (16)
三、解答题:
(17)解:
由,知,又,由正弦定理,有
,∴,,……3分
∴ ……………5分
…………8分
∵,, ∴,
故所求函数为,函数的值域为……………10分
(18)解:
记顾客购买一件产品,获一等奖为事件,获二等奖为事件,不获奖为事件,则,,
(Ⅰ)该顾客购买2件产品,中奖的概率
……………4分
(Ⅱ)的可能值为0,20,40,100,120,200,其中
,,
,,
,……………8分
的分布列为
……………10分
的期望
(元)…………………………………………………………………12分
(19)解法一:
(Ⅰ)取中点,连结、,则,
又, ∴,四边形是平行四边形,
∴,又,,
∴ ……………………………………………………4分
(Ⅱ)连结
∵, ∴,
又平面平面,∴
而, ∴
作于,则,且,为的中点。
作于,连结,则,
于是为二面角的平面角。…………………………8分
∵,,∴,
在正方形中,作于,则
,
∴,∴。
故二面角的大小为…………………………12分
解法二:如图,以为原点,建立空间直角坐标系,使轴,、分别在轴、轴上。
(Ⅰ)由已知,,,,,,,
∴, ,,
∵, ∴,
又,∴ ………………………………………4分
(Ⅱ)设为面的法向量,则,且。
∵,,
∴,取,,,则 ……………8分
又为面的法向量,所以,
因为二面角为锐角,所以其大小为…………………………12分
(20)解:
(Ⅰ) ……………………………………………………1分
(1)当时,由,知,在单调递增
而,则不恒成立…………………………3分
(2)当时,令,得
当时,,单调递增;时, ,单调递减,在处取得极大值。
由于,所以,解得,即当且仅当时恒成立。
综上,所求的值为 …………………………7分
(Ⅱ)等价于,
下证这个不等式成立。
由(Ⅰ)知,即,……………9分
∴
…………………………12分
(21)解:
(Ⅰ)曲线方程可写为,
设,则,又设、、
曲线在点处的切线斜率,则切线方程为,
即,亦即…………………………3分
分别将、坐标代入切线方程得,
∴,
由,得
, ①
, ②
∴ ……………7分
∵,∴,
则由②式得。
从而曲线的方程为…………………………8分
(Ⅱ)轴与曲线、交点分别为、,此时……9分
当、不在轴上时,设直线方程为。
若,则、在第一象限,
由,得,由得,
∴………………………………………11分
因为曲线和都关于轴对称,所以当时,仍有
综上,题设的为定值…………………………12分
(22)解:
(Ⅰ)由,且,得
当时, ,解得;
当时,,解得
猜想:……………………………………………………2分
用数学归纳法证明如下
(1) 当时,命题显然成立。………………………………………3分
(2) 假设当时命题成立,即,那么
由,得
于是,当时命题仍然成立………………………………………6分
根据(1)和(2),对任何,都有…………………………7分
(Ⅱ)当时,,且对于也成立。
因此,
对于,由,得
,……………10分
,
综上,………………………………………12分
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