椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上的一点，且满足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5

2

；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-

3

3

)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1两渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又设l与l₂交于点P，l与C两交点自上而下依次为A、B；
（1）当l₁与l₂夹角为

π

3

，双曲线焦距为4时，求椭圆C的方程及其离心率；
（2）若

FA

=λ

AP

，求λ的最小值．

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆左准线与x轴交于E（-4，0），过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A、B两个不同的点（A在E，B之间）
（1）求椭圆方程；   （2）求△AOB面积的最大值； （3）设椭圆左、右焦点分别为
F₁、F₂，若有

F1A

=λ

F2B

，求实数λ，并求此时直线l的方程．

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2

2

，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求直线PQ的方程；
（3）设

AP

=λ

AQ

（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明

FM

=-λ

FQ

．

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=

2 3

，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：

CA

=λ

BC

（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k²+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．