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    又.代入上式得 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    函数概念的发展历程

    　　17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等．诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程．这正是函数产生和发展的背景．

    　　“function”一词最初由德国数学家莱布尼兹(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中国，清代数学家李善兰(1811～1882)在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代徽积拾级》中首次将“function”译做“函数”．

    　　莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等．1718年，他的学生，瑞士数学家约翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)强调函数要用公式表示．后来，数学家认为这不是判断函数的标准．只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了．所以，1755年，瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707～1783)将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”．

    　　当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度．函数的概念仍然是比较模糊的．

    　　随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了．德国数学家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”．这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式．19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，这就是本节学习的函数概念．

    　　综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．

    你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？

    1．探寻科学家发现问题的过程，对指导我们的学习有什么现实意义？

    2．莱布尼兹、狄利克雷等科学家有哪些品质值得我们学习？

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    （2004•上海模拟）小王将5000元存入银行，已知银行一年期利率为x%，一年后，小王将所得的本利和又续存了一年，这样，小王共可得本利和（用含x的代数式表示）
    5000（1+x%）2
    5000（1+x%）2
    ．

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    已知向量（），向量，，

    且.

    （Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

    【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。

    （1）问中∵，∴，…………………1分

    ∵，得到三角关系是，结合，解得。

    （2）由，解得，，结合二倍角公式，和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。

    解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

    ∵，∴，即   ①  …………2分

    又 ②   由①②联立方程解得，，5分

    ∴     ……………6分

    （Ⅱ）∵即，，  …………7分

    ∴，               ………8分

    又∵，          ………9分

    ，            ……10分

    ∴．

    解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

    又，∴，即，①……2分

    又    ②

    将①代入②中，可得   ③    …………………4分

    将③代入①中，得……………………………………5分

    ∴   …………………………………6分

    (Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

    ∴，从而.      …………………8分

    由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

    ∴.     ………………………………10分

    又∵，∴， 又，∴    ……11分

    综上可得  ………………………………12分

    方法二∵,，∴，且…………7分

    ∴.                                 ……………8分

    由(Ⅰ)知， .                …………9分

    ∴             ……………10分

    ∵，且注意到，

    ∴，又，∴   ………………………11分

    综上可得                    …………………12分

    （若用，又∵ ∴ ，

     

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    已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆C；其长轴长等于4,离心率为．

    (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

    (Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.

    【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系的运用。

    第一问中，可设椭圆的标准方程为 

    则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

    又由于 

    所求椭圆C的标准方程为

    第二问中，

    假设存在这样的直线,设,MN的中点为

     因为|ME|=|NE|所以MNEF所以

    (i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;

    (ii)下面仅考虑情形:

    由,得,

    ,得

    代入1,2式中得到范围。

    (Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为 

    则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

    又由于 

    所求椭圆C的标准方程为

     (Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为

     因为|ME|=|NE|所以MNEF所以

    (i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;

    (ii)下面仅考虑情形:

    由,得,

    ,得……②  ……………………9分

    则．

    代入①式得,解得………………………………………12分

    代入②式得,得．

    综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是

     

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    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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