设f(k)是满足不等式log2x+log2(3?2k-1-x)≥2k-1的正整数x的个数.的解析式,(2)记Sn=f,Pn=n2+n-1试比较Sn与Pn的大小.——青夏教育精英家教网—

设f(k)是满足不等式log2x+log2(3?2k-1-x)≥2k-1的正整数x的个数.的解析式,(2)记Sn=f,Pn=n2+n-1试比较Sn与Pn的大小. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

设f(k)是满足不等式log₂x+log₂(3·2^k-1-x)≥2k-1(k∈N^*)的自然数x的个数.

(1)求f(k)的表达式；

(2)记S_n=f(1)+f(2)+…+f(n),P_n=n²+n-1,当n≤5时试比较S_n与P_n的大小.

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设f(k)是满足不等式log₂x+log₂(3·2^k-1-x)≥2k-1(k∈N)的自然数的个数.

(1)求f(k)的解析式；

(2)记S_n=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),求S_n的解析式；

(3)令P_n=n²+n-1(n∈N^*),试比较S_n与P_n的大小.

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设f(k)是满足不等式log₂x+log₂(3×2^k-1-x)≥2k-1(k∈N₊)的自然数x的个数.

(1)求f(k)的解析式；

（2）记S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)，求S_n的解析式；

（3）令P_n=n²+n-1(n∈N₊),试比较S_n与P_n的大小.

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设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数，对,用表示区间已知当时，f(x)=x².

（1）求f(x)在上的解析表达式;

（2）对自然数k,求集合不等的实根}

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(文)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k²成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)²成立”.那么,下列命题总成立的是

A.若f(1)＜1成立,则f(10)＜100成立

B.若f(2)＜4成立,则f(1)≥1成立

C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k²成立

D.若f(4)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k²成立

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一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180°

8.1+

9.(1+ 10.(2)（3） 11.两边同乘以

三、12.证明：(1)当n=1时，a₁=＜1，不等式成立.

（2）假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即a_k=＜1

亦即1+2²+3³+…+k^k＜(k+1)^k

当n=k+1时

a_k₊₁=

==()^k＜1.

∴n=k+1时，不等式也成立.

由（1）、（2）知,对一切n∈N*，不等式都成立.

13.证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而1²－1+2=2，命题成立.

（2）假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成k²－k+2个区域.

当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k²－k+2+2k=(k+1)²－(k+1)+2个区域.

∴n=k+1时，命题也成立.

由（1）、（2）知，对任意的n∈N*,命题都成立.

14.解：（1）∵log₂x+log₂(3?2^k^－1－x)≥2k－1

∴,解得2^k^－1≤x≤2^k, ∴f(k)=2^k－2^k^－1+1=2^k^－1+1

(2)∵S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+2²+…+2ⁿ^－1+n=2ⁿ+n－1

∴S_n－P_n=2ⁿ－n²

n=1时,S₁－P₁=2－1=1＞0;n=2时，S₂－P₂=4－4=0

n=3时，S₃－P₃=8－9=－1＜0;n=4时，S₄－P₄=16－16=0

n=5时，S₅－P₅=32－25=7＞0;n=6时，S₆－P₆=64－36=28＞0

猜想，当n≥5时，S_n－P_n＞0

①当n=5时，由上可知S_n－P_n＞0

②假设n=k(k≥5)时，S_k－P_k＞0

当n=k+1时,S_k₊₁－P_k₊₁=2^k⁺¹－(k+1）²=2?2^k－k²－2k－12(2^k－k²)+k²－2k－1

=2(S_k－P_k)+k²－2k－1＞k²－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0

∴当n=k+1时，S_k₊₁－P_k₊₁＞0成立

由①、②可知，对n≥5，n∈N*，S_n－P_n＞0成立即S_n＞P_n成立

由上分析可知，当n=1或n≥5时，S_n＞P_n

当n=2或n=4时，S_n=P_n

当n=3时，S_n＜P_n.

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