题目列表(包括答案和解析)
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,于是,所以
(2) ,设平面PCD的法向量,
则,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.
因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值为.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
如图1,在中,,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将沿DE折起到的位置,使,如图2.
(Ⅰ)求证:DE∥平面
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)线段上是否存在点Q,使?说明理由。
【解析】(1)∵DE∥BC,由线面平行的判定定理得出
(2)可以先证,得出,∵∴
∴
(3)Q为的中点,由上问,易知,取中点P,连接DP和QP,不难证出,∴∴,又∵∴
如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(I)求证:PD⊥BC;
(II)求二面角B—PD—C的正切值。
【解析】第一问利用∵平面PCD⊥平面ABCD,又∵平面PCD∩平面ABCD=CD,
BC在平面ABCD内 ,BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD.
∴PD⊥BC.
第二问中解:取PD的中点E,连接CE、BE,
为正三角形,
由(I)知BC⊥平面PCD,∴CE是BE在平面PCD内的射影,
∴BE⊥PD.∴∠CEB为二面角B—PD—C的平面角,进而求解。
如图,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,AE=2BD=4,O、M分别为CE、AB的中点.
(Ⅰ)证明:OD//平面ABC;
(Ⅱ)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由.
【解析】第一问:取AC中点F,连结OF、FB.∵F是AC的中点,O为CE的中点,
∴OF∥EA且OF=且BD=
∴OF∥DB,OF=DB,
∴四边形BDOF是平行四边形。
∴OD∥FB
第二问中,当N是EM中点时,ON⊥平面ABDE。 ………7分
证明:取EM中点N,连结ON、CM, AC=BC,M为AB中点,∴CM⊥AB,
又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE面ABC=AB,CM面ABC,
∴CM⊥面ABDE,∵N是EM中点,O为CE中点,∴ON∥CM,
∴ON⊥平面ABDE。
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