(2)由题意可得是的中点.连接 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,边长为2的正方形ABCD,E是BC的中点,沿AE,DE将折起,使得B与C重合于O.

(Ⅰ)设Q为AE的中点,证明:QDAO;

(Ⅱ)求二面角O—AE—D的余弦值.

【解析】第一问中,利用线线垂直,得到线面垂直,然后利用性质定理得到线线垂直。取AO中点M,连接MQ,DM,由题意可得:AOEO, DOEO,

AO=DO=2.AODM

因为Q为AE的中点,所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二问中,作MNAE,垂足为N,连接DN

因为AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM

,因为AODM ,DM平面AOE

因为MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=

(1)取AO中点M,连接MQ,DM,由题意可得:AOEO, DOEO,

AO=DO=2.AODM

因为Q为AE的中点,所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

(2)作MNAE,垂足为N,连接DN

因为AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM

,因为AODM ,DM平面AOE

因为MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值为

 

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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)证明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

 

【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)证明:易得于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量

,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值为.

(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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