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    解法二:设在翻转过程中.点M到平面CDE的距离为.点N到平面CDE的距离为.则.同理 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    有一个长方体容器ABCD-A1B1C1D1，装的水占恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面，容器一边BC紧贴桌面，沿BC将其翻转使之略微倾斜，最后水面（阴影部分）与其各侧棱的交点分别是EFGH（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M，翻转过程中水和容器接触面积为S，则下列说法正确的是（　　）

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    已知正方形ABCD边长为a，将△ABD沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻转，在翻转过程中，说法不正确的是（　　）
    A、将△ABD沿BD翻转到任意位置时，直线AC与直线BD都垂直
    B、当平面ABD垂直于平面BCD时，此时∠ACD=60°
    C、沿BD翻转到某个位置时，使得三棱锥A-BCD体积最大值是
    		2
    a3
    12
    D、沿BD翻转到任意位置时，三直线“AB与CD”，“AD与BC”，“AC与BD”均不垂直

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    （2013•湛江一模）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE
    （1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值；
    （2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．

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    已知数列满足（I）求数列的通项公式；

    （II）若数列中，前项和为，且证明：

    【解析】第一问中，利用，

    ∴数列{}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即 

    第二问中， 

    进一步得到得    即

    即是等差数列.

    然后结合公式求解。

    解：（I）  解法二、，

    ∴数列{}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即 

    （II）     ………②

    由②可得： …………③

    ③－②，得    即 …………④

    又由④可得 …………⑤

    ⑤－④得

    即是等差数列.

         

     

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

    （Ⅰ）证明PC⊥AD；

    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

    （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

     

    【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

    （1）证明：易得，于是,所以

    (2) ,设平面PCD的法向量，

    则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

    所以二面角A-PC-D的正弦值为.

    （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

    由，故 

    所以，，解得，即.

    解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

    (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

    因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

    因此所以二面角的正弦值为.

    （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

    在中，由,,

    可得.由余弦定理，,

    所以.

     

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