函数f（x）=

1

1+a•2bx

的定义域为R，且

lim

n→∞

f（-n）=0（n∈N*）
（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；
（Ⅱ）若f（1）=

4

5

，且f（x）在[0，1]上的最小值为

1

2

，试求f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），试比较S_n与n+

1

2n+1

+

1

2

(n∈N*)的大小并证明你的结论．

函数f（x）=

x

1-x

（0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：a1=

1

2

，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

bn

a 2 n

-

λ

an

}的项中仅

b5

a 2 5

-

λ

a5

最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-

1-x2

1+x2

，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．证明：

(x2-x1)2

x1x2

+

(x3-x2)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

5

16

．

函数f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0），该函数图象在点P（x₀，1-ax₀²） 处的切线为l，设切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M和N．
（1）将△MON （O 为坐标原点）的面积S 表示为x₀ 的函数S（x₀）；
（2）若在x₀=1处，S（x₀）取得最小值，求此时a的值及S（x₀）的最小值；
（3）若记M点的坐标为M（m，0），函数y=f（x） 的图象与x轴交于点T（t，0），则m与t的大小关系如何？证明你的结论．