题目列表(包括答案和解析)
当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
(14分)已知函数
,（ x>0）．
（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；
（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]
(m≠0),求m的取值范围．
已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0
的解集是( )
A．(－3，－
)∪(0,1)∪(，3)
B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)
C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)
已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x?? - y） = 
成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x < 2a时，f（x） > 0．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值．
已知
．
（１）求
的单调区间；
（２）证明：当
时，
恒成立；
（３）任取两个不相等的正数
，且
，若存在
使
成立，证明：
．
【解析】（1）g(x)=lnx+
，
=
（1’）
当k
0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+
），无减区间；
当k>0时，
>0,得x>k；
<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x
1)令
= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),
的变化情况如表
|
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
|
－ |
0 |
+ |
|
h(x) |
e－2 |
|
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e
（5’）
设G(x)=lnx-
(x1) 
=
=
0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx
(x1)成立,所以f(x) 
,综上,当x1时, 2x-ef(x)
恒成立.
(3) ∵
=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0 –lnx
=
-1–lnx=
=
=
(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
例10 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期(年数)
公积金贷款月利率(‰)
商业性贷款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
讲解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月
第1月末欠款数 A(1＋r)－a
第2月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款数 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
……
第n月末欠款数 
得：
对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰
∴
对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，
(2)至12年末，
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．
需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.
例11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
|
↘
, 则由
n
27.5,
,
,
，
+［g(0)- 
(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
-［g(0)- 
=［g(0)- 
,
>e
,
,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
=e
ln20，