等式1²+2²+3²+…+n²=

查看答案和解析>>

等式1²+2²+3²+…+n²=（    ）

A.n为任何自然数时都成立                   B.仅当n=1，2，3时成立

C.n=4时成立，n=5时不成立              D.仅当n=4时不成立

查看答案和解析>>

等式1²+2²+3²+…+n²=（ ）
A．n为任何自然数时都成立
B．仅当n=1，2，3时成立
C．n=4时成立，n=5时不成立
D．仅当n=4时不成立

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、1.C  2.B  3.B  4.C  5.D  6.D    二、7.180°

8.1+

9.(1+  10.(2)（3）  11.两边同乘以

三、12.证明：(1)当n=1时，a₁=＜1，不等式成立.

（2）假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即a_k=＜1

亦即1+2²+3³+…+k^k＜(k+1)^k

当n=k+1时

a_k+1=

==()^k＜1.

∴n=k+1时，不等式也成立.

由（1）、（2）知,对一切n∈N*，不等式都成立.

13.证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而1²－1+2=2，命题成立.

（2）假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成k²－k+2个区域.

当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k²－k+2+2k=(k+1)²－(k+1)+2个区域.

∴n=k+1时，命题也成立.

由（1）、（2）知，对任意的n∈N*,命题都成立.

14.解：（1）∵log₂x+log₂(3?2^k－1－x)≥2k－1

∴,解得2^k－1≤x≤2^k, ∴f(k)=2^k－2^k－1+1=2^k－1+1

(2)∵S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+2²+…+2^n－1+n=2ⁿ+n－1

∴S_n－P_n=2ⁿ－n²

n=1时,S₁－P₁=2－1=1＞0;n=2时，S₂－P₂=4－4=0

n=3时，S₃－P₃=8－9=－1＜0;n=4时，S₄－P₄=16－16=0

n=5时，S₅－P₅=32－25=7＞0;n=6时，S₆－P₆=64－36=28＞0

猜想，当n≥5时，S_n－P_n＞0

①当n=5时，由上可知S_n－P_n＞0

②假设n=k(k≥5)时，S_k－P_k＞0

当n=k+1时,S_k+1－P_k+1=2^k+1－(k+1）²=2?2^k－k²－2k－12(2^k－k²)+k²－2k－1

=2(S_k－P_k)+k²－2k－1＞k²－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0

∴当n=k+1时，S_k+1－P_k+1＞0成立

由①、②可知，对n≥5，n∈N*，S_n－P_n＞0成立即S_n＞P_n成立

由上分析可知，当n=1或n≥5时，S_n＞P_n

当n=2或n=4时，S_n=P_n

当n=3时，S_n＜P_n.