如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

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如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

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如图，△ABC中，边BC=12cm，高AD=6cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（　　）

A、3cm

B、4cm

C、5cm

D、6cm

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如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）图中两部分阴影面积的和．

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21、如图，已知：方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上确定一点，连接AB、AC、BC，使△ABC的面积为2个平方单位．

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一、选择题（本题有12小题，共48分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

A

C

D

A

B

A

C

B

D

二、填空题（本大题为选做题，在8小题中做对6小题即得满分30分，多做答错不扣分）

13． 2       14．         15．        16．答案不唯一，比如等

17．70°     18．10、30     19．1476.5      20． +、1

三、解答题（本题有7小题，共72分）

说明：本参考答案中除25、27题外每题只给出了一种解答，对于其他解答，只要解法正确，参照本评分建议给分。

21． 解：原方程变形得：，   ………………………………2分

                    .   ……………………………………………4分

    ∴  方程的根为：、 、  .   …………………………8分

22．（1）∠ABC= 135 °,        ………………………………………………………2分

 BC=；           …………………………………………………………4分

（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF）          ………………5分

     这是因为∠ABC =∠DEF = 135 ° ,，

      ∴△ABC∽△DEF.             …………………………………………8分

23． (1) 在这组数据中,中位数是30.0 ,     ……………………………………2分

众数是30.0 ,                    …………………………………………………4分

平均数是32.0 ；                 ……………………………………6分

(若填为30、30、32，均暂不扣分)

(2) 凭经验，大厦高约30.0 _.（单位未写暂不扣分）   …………………7分

只要说得有理就给1分，比如数据44.0误差太大，或测量错误不可信等等.8分

24． 解：在R t△BCD中，∵  BD=5,    ∴  BC=5= 4.1955≈4.20.  ……4分

         在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20,       …………………………………5分

          ∴  DE=       ……………………………………………6分

             ==

≈7.96   ……………………………………………………………9分

答：BC的长度约为4.20_,钢缆ED的长度约7.96.  …………………10分

（若BC=4.1955暂不扣分，但是ED的长度未保留三个有效数字扣1分)

25． 解：(1) 由已知，矩形的另一边长为  ………………………………1分

则=   ……………………………………………………3分

     =   ……………………………………………………………5分

自变量的取值范围是0＜＜18.   ……………………7分

（2）∵  ==  …………………………………10分

∴ 当=9时（0＜9＜18)，苗圃的面积最大    ……………………11分

最大面积是81       ………………………………………………12分

又解:  ∵  =－1＜0，有最大值，         …………………………8分

∴  当 =时（0＜9＜18)，  ………………………10分

  （）  ……………………………12分

（未指出0＜9＜18暂不扣分）

26． 解：(1)       ……………………………1分

                  ；    ………………………3分

又   ，      ……………………………………4分

∴   .  …6分

⑵…8分

                  ………………10分

       ……………………………………11分

∴       …12分

（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确。）

27．解： ⑴ C（5，-4）；(过程1分，纵、横坐标答对各得1分)        ………… 3分

⑵ 能            ……………………………………………………………4分

 连结AE ，∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°.        ………5分

在△ABE与△PBA中，AB²＝BP? BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,

∴△ABE∽△PBA .              …………………………………7分

∴∠BPA=∠BAE=90°,  即AP⊥BE .          …………………8分

⑶ 分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ²＝BQ? EQ. Q点位置有三种情况：

①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；

②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；

③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.

解题过程：

① 当点Q₁与C重合时，AQ₁=Q₁B=Q₁E, 显然有AQ₁²＝BQ₁? EQ₁ ,

∴Q₁(5, -4)符合题意；             ………………………………9分

② 当Q₂点在线段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°

∴点Q₂为AQ₂在BE上的垂足，           ………………………10分

∴AQ₂== 4.8（或）.

∴Q₂点的横坐标是2+ AQ₂?∠BAQ₂= 2+3.84=5.84,

又由AQ₂?∠BAQ₂=2.88,

∴点Q₂（5.84，-2.88）,          …………11分

③方法一：若符合题意的点Q₃在线段EB外,

则可得点Q₃为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.

由Rt△Q₃BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,

故不妨设BR=3t，RQ₃=4t，BQ₃=5t,           …………………………12分

由Rt△ARQ₃∽Rt△EAB得，       ………………………13分

即得t=，

〖注:此处也可由列得方程； 或由AQ₃² = Q₃B?Q₃E=Q₃R²+AR²列得方程)等等〗

∴Q₃点的横坐标为8+3t=， Q₃点的纵坐标为，

即Q₃（，） .          ……………………14分

方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), 

∴直线BE的解析式是.           ……………12分

设Q₃（，）,过点Q₃作Q₃R⊥x轴于点R,

∵易证∠Q₃AR =∠AEB得 Rt△AQ₃R∽Rt△EAB, 

∴,  即   ,        ………………13分

∴t=,进而点Q₃ 的纵坐标为，∴Q₃（，）.  ………14分

方法三：若符合题意的点Q₃在线段EB外,连结Q₃A并延长交轴于F,

        ∴∠Q₃AB =∠Q₃EA，,

        在R t△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,

∴可得直线AF的解析式为,          ………………12分

又直线BE的解析式是,             ………………13分

∴可得交点Q₃（，）.              ………………………14分