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给出以下5个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量与夹角为锐角θ，且满足 ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为    ．

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选择题（60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D．

A

C

A

B

B

A

C

A

C

B

填空题（16分）

13    14    15    16  8

17解：（1）由已知得，      ………………6分

（2）………10分

     =- ………12分

18解：（Ⅰ）（法一）f(x)的定义域为R。

       ，

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减。……4分 

所以f(x)值域为……6分

（法二）……4分

所以f(x)的值域是………6分

（法三）由绝对值的几何意义知f(x)=表示数轴上点P（x）到点M(2)与点N(-2)距离之和．……4分

所以f(x)的值域是．……6分

（Ⅱ）原不等式等价于：

      ①或②或③……11分

所以原不等式解集为……12分

19 解:设，由题意知，  ……6分

又

所以双曲线方程为  ……10分

所以双曲线的渐近线方程为 ……12分

20解：（Ⅰ）由题意知方程的两根是

      ……4分

(Ⅱ)

在[-1，2]上恒成立，………6分

令

……8分

当x在[-1,2]上变化时，的变化情况如下：

x

-1

1

（1，2）

2

+

-

+

g(x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

2

所以当x=2时，,

所以c的取值范围为……12分

21解：（1）当n=1时，,当时，由得所以…………4分

所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，

所以数列的通项公式为…………6分

       （2）

22解 :（Ⅰ）由题设a=2,c=1从而所以椭圆的方程为: ………5分

（Ⅱ）由题意得F（1，0），N（4，0），设A（m,n）

则B（m,-n）( ①

设动点M（x,y）．AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0  ②   n(x-4)+(m-4)y=0 ③

由②③得：当时， 代入①得

当时，由②③得：，解得n=0,y=0与矛盾,所以的轨迹方程为。…………9分

（Ⅲ）△AMN的面积为△AFN与△MFN面积之和，且有相同的底边FN，当两高之和最大时，面积最大，这时AM应为特殊位置，所以猜想：当AM与x轴垂直时，△AMN的面积最大，|AM|=3，|FN|=3，这时,△AMN的面积最大最大值为………11分。

证明如下：设AM的方程为x=ty+1,代入得

设A，则有

令，则

因为，所以，即时有最大值3，△AMN的面积有最大值。……13分