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    题目列表(包括答案和解析)

    （20）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

        对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

    （I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1，1)为含峰区间；

    （II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；

    （III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

    （区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

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    已知函数f（x）=ax-lnx，g(x)=
    lnx
    x
    ，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
    （ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
    （ II）当a=1时，对任意x1，x2∈（0，e]，求证：f(x1)＞g(x2)+
    17
    27

    （ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

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    已知函数f（x）=ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
    （I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=
    2
    3
    时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
    （II）在（I）的条件下，求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
    （III）若关于x的方程f’（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2试问：是否存在正整数n0，使得|f′(n0)|≤
    3
    4
    ？说明理由．

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    已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(
    1
    2
    )=-1    ，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
    x+y
    1+xy
    )    成立，又数列{an}满足a1=
    1
    2
    ，an+1=
    2a
    1+
    a
    2
    n
    ．
    （I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
    1
    2
    )    ；
    （II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
    （III）设cn=
    n
    2
    bn+2，bn=
    1
    f(a1)
    +
    1
    f(a2)
    +
    1
    f(a3)
    +…+
    1
    f(an)
    ，是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
    6
    7
    lo
    g
    2
    2
    m-
    18
    7
    log2m    恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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    （2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC 把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E，F分别为线段PC，CD的中点．
    （I） 求证：平面OEF∥平面APD；
    （II）求直线CD⊥与平面POF
    （III）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点的距离相等？请说明理由．

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