（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：

①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

再利用可求得，进而求得．

根据上述结论求下列问题：

（1）当，（）时，求数列的通项公式；

（2）当，（）时，求数列的通项公式；

（3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．

（本题满分16分）已知：圆C过定点A(0，p)，圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为圆C在X轴上截和的弦，设|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=α,

(1).当点C运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；

(2).求的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C的方程.

（本题满分16分）已知：圆C过定点A(0，p)，圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为圆C在X轴上截和的弦，设|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=α,

(1).当点C运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；

(2).求的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C的方程.

已知函数，．

（Ⅰ）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若方程有唯一解，求实数的值．

【解析】第一问，   

当0<x<2时，，当x>2时，，

要使在(a,a+1)上递增，必须

如使在(a,a+1)上递增，必须，即

由上得出，当时，在上均为增函数

（Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

设  （x>0）

随x变化如下表

由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

当m=-24-16ln2时，方程有唯一解得到结论。

（Ⅰ）解： 

当0<x<2时，，当x>2时，，

要使在(a,a+1)上递增，必须

如使在(a,a+1)上递增，必须，即

由上得出，当时，在上均为增函数  ……………6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

设  （x>0）

随x变化如下表

由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

当m=-24-16ln2时，方程有唯一解