已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．
（Ⅰ）判断函数y=-x³是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]；
（Ⅱ）若函数y=

x-1

+t∈M，求实数t的取值范围．

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x²+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整数）在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范围；
（3）设函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．