题目列表(包括答案和解析)
函数(、)满足:,且对任意实数x均有0成立
(1)求实数、的值;
(2)当时,求函数的最大值.
【解析】(1) 恒成立.
(2)
对称轴,由于开口方向向上,所以求最大值时对称轴要与区间中间进行比较讨论即可.
已知,设和是方程的两个根,不等式对任意实数恒成立;函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.
【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
当a∈[1,2]时,的最小值为3. 当a∈[1,2]时,的最小值为3.
要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只须|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
可得到要使“P∧Q”为真命题,只需P真Q真即可。
解:由题设x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
当a∈[1,2]时,的最小值为3.
要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只须|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
综上,要使“P∧Q”为真命题,只需P真Q真,即
解得实数m的取值范围是(4,8]
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,令则
令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即
从而,又
所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
已知函数f(x)=,为常数。
(I)当=1时,求f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求的取值范围。
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中,利用当a=1时,f(x)=,则f(x)的定义域是然后求导,,得到由,得0<x<1;由,得x>1;得到单调区间。第二问函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,则或在区间[1,2]上恒成立,即即,或在区间[1,2]上恒成立,解得a的范围。
(1)当a=1时,f(x)=,则f(x)的定义域是
。
由,得0<x<1;由,得x>1;
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,上是减函数。……………6分
(2)。若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,
则或在区间[1,2]上恒成立。∴,或在区间[1,2]上恒成立。即,或在区间[1,2]上恒成立。
又h(x)=在区间[1,2]上是增函数。h(x)max=(2)=,h(x)min=h(1)=3
即,或。 ∴,或。
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