下面（a）（b）（c）（d）为四个平面图：

（1）数出每个平面图的顶点数、边数、区域数（不包括图形外面的无限区域），并将相应结果填入表：

	顶点数	边数	区域数
（a）	4	6	3
（b）		12
（c）	6
（d）		15

（2）观察表，若记一个平面图的顶点数、边数、区域数分别为E、F、G，试推断E、F、G之间的等量关系；
（3）现已知某个平面图有2009个顶点，且围成2009个区域，试根据以上关系确定该平面图的边数．

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（A）（不等式选做题）
若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是

（-∞，-3]∪[3，+∞）

（-∞，-3]∪[3，+∞）

．
（B）（几何证明选做题）
如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为

2 3

3

2 3

3

．
（C）（坐标系与参数方程选做题） 
在已知极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a=

2或-8

2或-8

．

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（A）（不等式选做题）
若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是    ．
（B）（几何证明选做题）
如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为    ．
（C）（坐标系与参数方程选做题） 
在已知极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a=    ．

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一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

（1）A      （2）B     （3）D     （4）C      （5）A    （6）B

（7）C      （8）A     （9）D     （10）C     （11）B    （12）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

（13）                         （14）

（15）2                                        （16）

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.

      解：由已知.

      从而 

.

（18）本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

      解法一：（I）连结BP.

      ∵AB⊥平面BCC₁B₁，  ∴AP与平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB,

      ∵CC₁=4CP,CC₁=4，∴CP=I.

      在Rt△PBC中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=.

      在Rt△APB中，∠ABP为直角，tan∠APB=

      ∴∠APB=

（19）本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.

      解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.

      由题意知

      目标函数z=x+0.5y.

      上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.