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    题目列表(包括答案和解析)

    已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为                                             （    ）

    （A）6           （B）7              （C）8              （D）9

     

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    已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为  　
     [     ]
    A．6
    B．7
    C．8
    D．9

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    已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为  　
     [     ]
    A．6
    B．7
    C．8
    D．9

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    某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：
    t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
    y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
    经长期观察：y=f（t）的曲线可近似看成函数y=Asinωt+b的图象（A＞0，ω＞0）．
    （1）求函数y=f（t）的近似表达式；
    （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？

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    某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
    t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
    y 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0
    经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（　　）
    A、17B、16C、5D、4

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    一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

    （1）A      （2）B     （3）D     （4）C      （5）A    （6）B

    （7）C      （8）A     （9）D     （10）C     （11）B    （12）A

    二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

    （13）                         （14）

    （15）2                                        （16）

    三、解答题

    （17）本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.

          解：由已知.

      

          从而 

    .

    （18）本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

          解法一：（I）连结BP.

          ∵AB⊥平面BCC1B1，  ∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB,

          ∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=I.

          在Rt△PBC中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=.

          在Rt△APB中，∠ABP为直角，tan∠APB=

          ∴∠APB=

    （19）本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.

          解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.

          由题意知

          目标函数z=x+0.5y.

          上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.

          与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且

          与直线的距离最大，这里M点是直线

          和的交点.

           解方程组 得x=4，y=6

          此时（万元）.

              当x=4，y=6时z取得最大值.

          答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.

    （20）本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分.

          解：（I）当时，

                 

           由，

           即              又.

           （II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得

    （1）

    （2）

           由（1）得

           当

           若成立

           若

              故所得数列不符合题意.

           当

           若

           若.

           综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

           ①{an} : an=0，即0，0，0，…；

           ②{an} : an=1，即1，1，1，…；

           ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，

    （21）本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.

           解：（I）设所求椭圆方程是

           由已知，得    所以.

           故所求的椭圆方程是

           （II）设Q（），直线

           当由定比分点坐标公式，得

          

           .

           于是   故直线l的斜率是0，.

    （22）本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

           证明：（I）任取 

           和  ②

           可知 ，

           从而 .  假设有①式知

          

           ∴不存在

           （II）由                        ③

           可知   ④

           由①式，得   ⑤

           由和②式知，   ⑥

           由⑤、⑥代入④式，得

                              

    （III）由③式可知

      （用②式）

           （用①式）


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