题目列表(包括答案和解析)
在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的是以BC为斜边的直角三角形,则实数x的值为 。
在空间直角坐标系中,以点为顶点的是以为底边的等腰三角形,则实数x的值为( )
A.-2 | B.2 | C.6 | D.2或6 |
在空间直角坐标系中,以点为顶点的是以为底边的等腰三角形,则实数x的值为( )
(A)-2 (B)2 (C)6 (D)2或6
A.-2 | B.2 | C.6 | D.2或6 |
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
B
D
C
B
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.第13题第1个空3分,第2个空2分.
11.0 12.79 13., 14.1 15.6
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)
解:(1)
.
∵R,
∴函数的值域为.
(2)∵,,
∴,.
∵都是锐角,
∴,.
∴
∴的值为.
17.(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法,以及简单的推理论证能力)
解:由于实数对的所有取值为:,,,,,,,,,,,,,,,,共16种.
设“直线不经过第四象限”为事件,“直线与圆有公共点”为事件.
(1)若直线不经过第四象限,则必须满足
即满足条件的实数对有,,,,共4种.
∴.
故直线不经过第四象限的概率为.
(2)若直线与圆有公共点,则必须满足≤1,即≤.
若,则符合要求,此时实数对()有4种不同取值;
若,则符合要求,此时实数对()有2种不同取值;
若,则符合要求,此时实数对()有2种不同取值;
若,则符合要求,此时实数对()有4种不同取值.
∴满足条件的实数对共有12种不同取值.
∴.
故直线与圆有公共点的概率为.
18.(本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识,考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、运算求解能力)
(1)证法1:如图,连结,
∵是长方体,
∴且.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵平面,平面,
∴平面.
证法2:∵是长方体,
∴平面平面.
∵平面,平面,
∴平面.
(2)解:设,∵几何体的体积为,
∴,
即,
即,解得.
∴的长为4.
(3)如图,连结,设的中点为,连
∵是长方体,∴平面.
∵平面,∴.
∴.同理.
∴.
∴经过,,,四点的球的球心为点.
∵.
∴.
故经过,,,四点的球的表面积为.
19.(本小题主要考查椭圆、圆的方程和圆与圆的位置关系等基础知识,考查数形结合思想,以及运算求解能力)
解:(1)∵椭圆的离心率为,且经过点,
∴
即解得
∴椭圆的方程为.
(2)∵,,∴.
∴椭圆的左焦点坐标为.
以椭圆的长轴为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为2.
以为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为.
∵两圆心之间的距离为,
故以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
20.(本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项求和公式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)
解:设等比数列的首项为,公比为,
若,,成等差数列,
则.
∴.
∵,,∴.
解得或.
当时,∵,,,
∴.
∴当时,,,不成等差数列.
当时,,,成等差数列.下面给出两种证明方法.
证法1:∵
,
∴.
∴当时,,,成等差数列.
证法2:∵,
又
,
∴.
∴当时,,,成等差数列.
21.(本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)解法1:∵,其定义域为,
∴.
∵是函数的极值点,
∴,即,
∵,∴.
经检验,当时,=1是函数的极值点,
∴. ?
解法2:∵,其定义域为,
∴.
令,即,整理得,.
∵,
∴的两个实根(舍去),,
当变化时,,的变化情况如下表:
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