(1)证明:直线平面, 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

平面内n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点.
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,猜想f(n)的表达式并给出证明;
(2)求证:这n条直线把平面分成
n(n+1)2
+1
个区域.

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平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),点C的轨迹与抛物线:y2=4x交于A、B两点.
(Ⅰ)求证:
OA
OB

(Ⅱ)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m∈R),使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.

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平面内n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点.
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,猜想f(n)的表达式并给出证明;
(2)求证:这n条直线把平面分成数学公式个区域.

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平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),点C的轨迹与抛物线:y2=4x交于A、B两点.
(Ⅰ)求证:
OA
OB

(Ⅱ)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m∈R),使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.

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平面内n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点.
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,猜想f(n)的表达式并给出证明;
(2)求证:这n条直线把平面分成
n(n+1)
2
+1
个区域.

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说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.

2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

 

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.

 

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

C

D

A

B

D

C

B

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.第13题第1个空3分,第2个空2分.

11.0         12.79         13.        14.1       15.6

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)

解:(1)

                 .                     
    ∵R,

∴函数的值域为.                                      

 

(2)∵

都是锐角,

.             

                                          

                             

               

的值为.                             

 

17.(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法,以及简单的推理论证能力)

解:由于实数对的所有取值为:,共16种.                                         

设“直线不经过第四象限”为事件,“直线与圆有公共点”为事件.                                                 

(1)若直线不经过第四象限,则必须满足             

即满足条件的实数对,共4种. 

故直线不经过第四象限的概率为.                     

(2)若直线与圆有公共点,则必须满足≤1,即

                                                               

 

,则符合要求,此时实数对()有4种不同取值;

,则符合要求,此时实数对()有2种不同取值;

,则符合要求,此时实数对()有2种不同取值;

,则符合要求,此时实数对()有4种不同取值.

∴满足条件的实数对共有12种不同取值.                     

故直线与圆有公共点的概率为.            

 

18.(本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识,考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、运算求解能力)

(1)证法1:如图,连结

是长方体,

∴四边形是平行四边形.

平面平面

平面.                                           

证法2:∵是长方体,

∴平面平面

平面平面

平面.                                            

(2)解:设,∵几何体的体积为

,                        

,解得

的长为4.                                                  

 

 

 

(3)如图,连结,设的中点为,连

是长方体,∴平面

平面,∴

.同理

∴经过四点的球的球心为点.                   

.                 

故经过四点的球的表面积为.                 

 

19.(本小题主要考查椭圆、圆的方程和圆与圆的位置关系等基础知识,考查数形结合思想,以及运算求解能力)

解:(1)∵椭圆的离心率为,且经过点

                                                

解得

∴椭圆的方程为.                                   

(2)∵,∴

∴椭圆的左焦点坐标为.                                  

以椭圆的长轴为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为2.

为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为.

∵两圆心之间的距离为

故以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.                  

 

 

20.(本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项求和公式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)

解:设等比数列的首项为,公比为,           

成等差数列,

.                                             

,∴

解得.                                          

时,∵,         

∴当时,不成等差数列.                      

时,成等差数列.下面给出两种证明方法.

证法1:∵

                          

                         

                         

                         

∴当时,成等差数列.                     

证法2:∵

, 

∴当时,成等差数列.                

 

21.(本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1)解法1:∵,其定义域为,         

.                                            

是函数的极值点,

,即,                                          

,∴

经检验,当时,=1是函数的极值点,

.        ?                                           

解法2:∵,其定义域为,               

.                                            

,即,整理得,

的两个实根(舍去),

变化时,的变化情况如下表:


同步练习册答案