长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁=a，底面ABCD的边长AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

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棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求异面直线OA与BD₁所成角的余弦值；
②求OA与平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

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长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（I）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱锥A-A₁D₁E的体积．

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长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

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棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O为面ABCD的中心．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面体OBC₁D₁的体积；
（3）线段AC上是否存在P点（不与A点重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．

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说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

C

D

A

B

D

C

B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．第13题第1个空3分,第2个空2分.

11．0         12．79         13．，        14．1       15．6

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：（1）

                 ．                     
    ∵R，

∴函数的值域为．                                      

（2）∵，，

∴，．

∵都是锐角，

∴，．             

∴                                          

∴的值为．                             

17．（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法，以及简单的推理论证能力）

解：由于实数对的所有取值为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种．                                         

设“直线不经过第四象限”为事件，“直线与圆有公共点”为事件．                                                 

（1）若直线不经过第四象限，则必须满足             

即满足条件的实数对有，，，，共4种． 

∴．

故直线不经过第四象限的概率为．                     

（2）若直线与圆有公共点，则必须满足≤1，即≤．

若，则符合要求，此时实数对（）有4种不同取值；

若，则符合要求，此时实数对（）有2种不同取值；

若，则符合要求，此时实数对（）有2种不同取值；

若，则符合要求，此时实数对（）有4种不同取值．

∴满足条件的实数对共有12种不同取值．                     

∴．

故直线与圆有公共点的概率为．            

18．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力）

（1）证法1：如图，连结，

∵是长方体，

∴且．

∴四边形是平行四边形．

∴．

∵平面，平面，

∴平面．                                           

证法2：∵是长方体，

∴平面平面．

∵平面，平面，

∴平面．                                            

（2）解：设，∵几何体的体积为，

∴，                        

即，

即，解得．

∴的长为4．                                                  

（3）如图，连结，设的中点为，连

∵是长方体，∴平面．

∵平面，∴．

∴．同理．

∴．

∴经过，，，四点的球的球心为点．                   

∵．                 

∴．

故经过，，，四点的球的表面积为．                 

19．（本小题主要考查椭圆、圆的方程和圆与圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，以及运算求解能力）

解：（1）∵椭圆的离心率为，且经过点，

∴                                                

即解得

∴椭圆的方程为．                                   

（2）∵，，∴．

∴椭圆的左焦点坐标为.                                  

以椭圆的长轴为直径的圆的方程为，圆心坐标是，半径为2.

以为直径的圆的方程为，圆心坐标是，半径为.

∵两圆心之间的距离为，

故以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.                  

20．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项求和公式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

解：设等比数列的首项为，公比为，           

若，，成等差数列，

则．                                             

∴．

∵，，∴．

解得或．                                          

当时，∵，，，         

∴．

∴当时，，，不成等差数列．                      

当时，，，成等差数列．下面给出两种证明方法．

证法1：∵

                          ，

∴．

∴当时，，，成等差数列．                     

证法2：∵，

又

， 

∴．

∴当时，，，成等差数列．                

21．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）解法1：∵，其定义域为，         

∴．                                            

∵是函数的极值点，

∴，即，                                          

∵，∴．

经检验，当时，=1是函数的极值点，

∴．        ?                                           

解法2：∵，其定义域为，               

∴．                                            

令，即，整理得，．

∵，

∴的两个实根（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下表：