题目列表(包括答案和解析)
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1)求棱的长;
(2)若的中点为,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1)求棱的长;
(2)求点到平面的距离.
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1)求棱的长;
(2)若的中点为,求异面直线与所成角的余弦值.
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1)求棱的长;
(2)求点到平面的距离.
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1)求棱的长;
(2)若的中点为,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中13~15题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前二题得分.第12题第1个空3分,第2个空2分.
9.2 10.79 11.0 或 2 12.16,
13.1 14.3 15.6
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)
解:(1)
.
∵,
∴函数的值域为.
(2)∵,,∴,.
∵都为锐角,∴,.
∴
.
∴的值为.
17.(本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识,考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)设,∵几何体的体积为,
∴,
即,
即,解得.
∴的长为4.
(2)在线段上存在点,使直线与垂直.
以下给出两种证明方法:
方法1:过点作的垂线交于点,过点作
交于点.
∵,,,
∴平面.
∵平面,∴.
∵,∴平面.
∵平面,∴.
在矩形中,∵∽,
∴,即,∴.
∵∽,∴,即,∴.
在中,∵,∴.
由余弦定理,得
.
∴在线段上存在点,使直线与垂直,且线段的长为.
方法2:以点为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系,由已知条件与(1)可知,,,,
假设在线段上存在点≤≤2,,0≤≤
由∽,得,
∴.
∴.
∴,.
∵,∴,
即,∴.
此时点的坐标为,在线段上.
∵,∴.
∴在线段上存在点,使直线与垂直,且线段的长为.
18.(本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)
解:设等比数列的首项为,公比为,
若,,成等差数列,
则.
∴.
∵,,∴.
解得或.
当时,∵,,,
∴.
∴当时,,,不成等差数列.
当时,,,成等差数列.下面给出两种证明方法.
证法1:∵
,
∴.
∴当时,,,成等差数列.
证法2:∵,
又
,
∴.
∴当时,,,成等差数列.
19.(本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)∵一次摸球从个球中任选两个,有种选法,
任何一个球被选出都是等可能的,其中两球颜色相同有种选法,
∴一次摸球中奖的概率.
(2)若,则一次摸球中奖的概率,
三次摸球是独立重复试验,三次摸球恰有一次中奖的概率是
.
(3)设一次摸球中奖的概率为,则三次摸球恰有一次中奖的概率为,,
∵,
∴在上为增函数,在上为减函数.
∴当时,取得最大值.
∵≥,
解得.
故当时,三次摸球恰有一次中奖的概率最大.
20.(本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)解法1:∵,其定义域为,
∴.
∵是函数的极值点,∴,即.
∵,∴.
经检验当时,是函数的极值点,
∴.
解法2:∵,其定义域为,
∴.
令,即,整理,得.
∵,
∴的两个实根(舍去),,
当变化时,,的变化情况如下表:
―
0
+
极小值
依题意,,即,
∵,∴.
(2)解:对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥.
当[1,]时,
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