A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[

1 2 0 1

]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．已知矩阵M

2 -3 1 -1

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
C．已知圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B   2. B   3. C   4. C   5.D   6. B   7.C   8. B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 6，17，28，39，40，51，62，73 .  10. .     11. 0. 

12. 20.   13. .     14. .    15. .

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），即，

∴，∴．∵，∴．

（Ⅱ）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．从而．

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．

17．（本小题满分12分）

解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，

则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：；   

获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：；

设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：

P（A）=；                        

ξ

30-a

-70

0

30

p

（2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,…7分

其分布列为：

则：Eξ=；

由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。      

18．（本小题满分14分）

证明：（1）取EC的中点是F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．

可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE

∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．

（3）

∴几何体的体积V为16．

方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（2）平面BDE的一个法向量为，

设平面ADE的一个法向量为，
∴

从而,

令，则,

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．

（3），∴几何体的体积V为16．

19．（本小题满分14分）

【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然的斜率存在,可设直线的方程为，

整理得 ． ①   

    设是方程①的两个不同的根，

    ∴，   ②                 

    且，由是线段的中点，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范围是（12，+∞）．

    于是，直线的方程为，即     

    法2：设，，则有

    依题意，，∴．              

∵是的中点，

∴，，从而．

又由在椭圆内，∴，

∴的取值范围是．                          

直线的方程为，即．       

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得．  ③         

又设，的中点为，则是方程③的两根，

∴．

到直线的距离，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：．

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意得,,所以=

（Ⅱ）证:令,,则=1

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化简得（3）

（4）,（4）―（3）得

在（3）中令,得,从而为等差数列

（Ⅲ）记,公差为,则=

则,

则,当且仅当,即时等号成立

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即．

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

         只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．

（2）由（1），得．．

∵在其定义域内为单调函数，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．

 等价于，即，

     而 ，（）_max=1，∴．

等价于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

综上，m的取值范围是．

（3）构造，．

当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．

当时，．

因为，所以，，所以在恒成立．

故在上单调递增，，只要，

解得．故的取值范围是．