．．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。
（1）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围；

（2）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。

 

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B   2. B   3. C   4. C   5.D   6. B   7.C   8. B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 6，17，28，39，40，51，62，73 .  10. .     11. 0. 

12. 20.   13. .     14. .    15. .

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），即，

∴，∴．∵，∴．

（Ⅱ）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．从而．

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．

17．（本小题满分12分）

解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，

则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：；   

获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：；

设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：

P（A）=；                        

ξ

30-a

-70

0

30

p

（2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,…7分

其分布列为：

则：Eξ=；

由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。      

18．（本小题满分14分）

证明：（1）取EC的中点是F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．

可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE

∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．

（3）

∴几何体的体积V为16．

方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（2）平面BDE的一个法向量为，

设平面ADE的一个法向量为，
∴

从而,

令，则,

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．

（3），∴几何体的体积V为16．

19．（本小题满分14分）

【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然的斜率存在,可设直线的方程为，

整理得 ． ①   

    设是方程①的两个不同的根，

    ∴，   ②                 

    且，由是线段的中点，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范围是（12，+∞）．

    于是，直线的方程为，即     

    法2：设，，则有

    依题意，，∴．              

∵是的中点，

∴，，从而．

又由在椭圆内，∴，

∴的取值范围是．                          

直线的方程为，即．       

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得．  ③         

又设，的中点为，则是方程③的两根，

∴．

到直线的距离，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：．

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意得,,所以=

（Ⅱ）证:令,,则=1

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化简得（3）

（4）,（4）―（3）得

在（3）中令,得,从而为等差数列

（Ⅲ）记,公差为,则=

则,

则,当且仅当,即时等号成立

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即．

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

         只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．

（2）由（1），得．．

∵在其定义域内为单调函数，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．

 等价于，即，

     而 ，（）_max=1，∴．

等价于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

综上，m的取值范围是．

（3）构造，．

当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．

当时，．

因为，所以，，所以在恒成立．

故在上单调递增，，只要，

解得．故的取值范围是．