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    4.角平分线(一) 课 题 1.4.角平分线(一) 课型 新授课 教学目标 1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理--判定定理.会用这两个定理解决一些简单问题. 2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明. 3．能够作已知角的角平分线.并会熟练地写出已知.求作和作法.可以说明为什么所作的直线是角平分线. 教学重点 角平分线性质定理及其逆定理. 教学难点 掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明. 教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 一.角平分线性质定理 1．让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子.并分别说出它们的作用. 2．高度评价学生的参与热情和学习成果.激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现.可以以该学生名字命名.以此鼓励.保护学生的积极性. 3．综合学生的发现.对于其中应用角平分线性质的几个例子.让学生猜想:它们应用的性质有没有什么相同的地方? 4．让学生拿出纸折的角.把角对折至两条边完全重合.注意角的顶点处要折好,然后把角的两条边对折几次.让学生观察折痕的特点.可以带学生完成上述操作.以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上. 5．让学生说出他们的猜想.并说明他们怎么想到的.暴露学生的思维过程.一是为了让学生理顺自己的思路.二是可以找到学生思维的进程. 6．肯定学生的发现.鼓励学生以后也要通过积极动脑思考.自己探索发现结论.引导学生再来看他们找的生活中的实例.是不是也有利用这个性质的? 7．让学生口述他们的结论.在口述的时候注意纠正学生不正确的数学语言.锻炼学生的数学语言表达能力.同时使学生加深对结论的理解. 8．提醒学生在猜测了数学结论之后.下一步该干什么了?在此时不直接提出猜测需要证明的要求.让学生自己意识到这样做的必要性.培养学生养成说理的好习惯.数学的兴趣.同时体会了数学和现实生活的联系. 9．让学生思考该如何证明.给学生留出思考的时间和空间.不要代替学生思考.要给他们机会. 10．让一位学生到黑板上画出图形.写出已知和求证.然后证明.其他学生在练习本上完成.提醒学生写已知.证明要规范.证明要严谨.要做到说理有据. 11．以黑板上学生的板演为样本.讲解定理及其证明.对学生不规范的书写和表达予以纠正.同时理顺学生的证明.让学生对定理的理解深入一步.o同时.让学生把书上的定理读一遍以加深记忆. 二.角平分线判定定理 1．从学生收集的生活中角平分线应用的例子提出问题:大家都知道了这几个例子中应用了角平分线的性质.那你如何说服别人.你说的那条线就是角平分线呢?引导学生从判断的角度思考问题. 2．启发学生思考:要说服别人你说的那条线就是角平分线.是不是就是要证明它是角平分线?那现在的问题是不是就转化成了:你如何证明或者说判定它是角平分线?都需要什么条件? 3．引导学生回忆有关线段垂直平分线的知识:它的判定定理和性质定理有什么关系?在这里.角平分线的性质定理和要证明的命题是不是也有这个关系? 4．提问刚才的问题.让学生明确心中的猜测. 5．肯定学生的回答.说明类比的方法.让学生类比线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法.写出角平分线性质定理的逆定理.写完之后.让同桌俩人互相检查. 6．给出规范的表述并进一部阐释它的内涵和与角平分线性质定理的关系.因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明.所以不妨把这个证明的任务留给学生课后完成.知道对于角平分线.也有类似的结论. 三.用直尺和圆规作角的平分线 1．讲述与作图有关的数学史知识.尤其是与本节课内容接近的三等分任意角问题,让学生对此有初步的了解.开阔学生的视野.让学生体会数学家坚韧不拔的科学探索精神. 2．告诉学生:知道了角平分线的性质定理和逆定理.还要学会怎么用直尺和圆规来画出它.这样有助于理解已经学习的知识.而且画图会帮助我们解决好多问题. 3．在黑板上演示图和作角平分线.一边作图.一边口述作法. 4．让学生根据老师的口述.演示和自己的实际操作.自己写出已知和求作.并写出作法.锻炼学生的数学表达能力. 5．选取学生有代表性的错误或不规范的地方予以修正.然后让学生仔细看书上写的作法.体会数学语言的精炼和严谨. 6．让学生思考:这样作角平分线的理由是什么?为什么作出的射线就是角的平分线?让学生对这个作法有一个很好的理解.而不只是机械的模仿. 7．综合学生的作法.总结作角平分线的方法.明确作图的数学语言即作法该如何写.向学生强调:要知其然.还要知其所以然.生可能写得不够规范. 作业:P34.1.2.3题 板书设计: 一.角平分线性质定理 二.角平分线判定定理 三.用直尺和圆规作角的平分线 1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子.并说出它们分别的作用在哪里. 2．受到老师的表扬和鼓励.很有成就感.增加了学习数学.探索数学.研究数学的兴趣.同时体会数学和现实生活的联系. 3．对于自己的发现进行深入探索.很有兴趣.但是对于从实际问题中提炼观点.感到有难度. 4．拿出准备好的纸折的角.在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次.观察折痕的性质.由折纸的过程.可以观察到折痕和角的边垂直.并且对应的折痕长度相等. 5．说出猜想:折痕和角的两边垂直.并且对应的折痕长度相等.说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的. 6．在老师的表扬和鼓励中.树立起自信.知道思考的重要性.继续思考刚才的问题.发现实例中应用角平分线性质的几个例子都有类似的特点. 7．把自己的猜想表述出来:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.对照实例和折的角.加深对上述结论的理解. 8．回答:需要证明.因为老师已经提示过学生多次:猜测的命题需要证明才能判断其真假.在老师的提示下意识到这个必要性. 9.积极思考如何证明.大多数学生可以想到:先证明三角形全等.然后利用三角形全等的性质得到结论. 10．一位同学到黑板上画出图形.写出已知和求证.然后证明.其他同学在练习本上完成.大多数学生可以顺利地证明出来. 11．在老师讲解的同时自己修正自己的练习.听讲.加深对角平分线性质定理的理解.朗读:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.在读的同时加强记忆和理解. 1．继续回到自己收集的成果上.思考老师的问题.对这个问题的正面有较好的理解.但是不知道该怎么证明它就是角平分线.有感性认识.但还不能提炼出一般的结论 2．在老师的启发下想到:其实就是要证明自己所说的线是角平分线.思考证明这个命题都需要什么条件.如何证明. 3．回忆有关线段垂直平分线的知识.知道线段垂直平分线的性质定理和判定定理互为逆定理.通过类比联想.知道对于角平分线.也有类似的结论.4．回答:角平分线和要证明的命题是互逆命题. 5．得到老师的肯定.知道猜测是正确的.回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法.写出角平分线性质定理的逆定理.与同桌互相检查. 6．认真听讲.体会定理的内涵.联想线段垂直平分线性质定理和判定定理的关系.有助于理解角平分线性质定理和判定定理的关系.对照自己的表述..进行修正使其更加严谨.规范.记下课后作业. 1．饶有趣味地听讲.对数学史知识很感兴趣.对古希腊学者的工作有了一点了解.开阔了视野.同时被数学家的精神所感染.增强了学习数学的毅力. 2．听老师讲学会画图的必要性.联想到上节课图形对于发现数学结论的帮助.对老师的话有很好的认识.做好了学习新知识的积极的心理准备.3．与老师同步.在练习本上作一个角的平分线. 4．依据作图的过程.参照老师的讲解.写出已知和求作以及作法.有的学生可能写得不够规范. 5．对照老师的讲解.完善自己的写法.看书.体会书上写的作法. 6．思考这样的作法的合理性.添加辅助线.对作出来的射线给以证明.找到思路后.与同伴交流.大多数学生可以通过证明三角形全等说出理由. 7．认真听讲.对如何作角的平分线和如何写出作法有更好的理解.同时.加深了不管是猜测还是作图都需要理性证明的意识. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
    实验与论证：
    设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．
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    （1）用含α的式子表示解的度数：θ3=
     
    ，θ4=
     
    ，θ5=
     
    ；
    （2）图1-图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
    归纳与猜想：
    设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜
    180n
    °）；
    （3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
    （4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

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    课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
    实验与论证：
    设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

    （1）用含α的式子表示解的度数：θ3=______，θ4=______，θ5=______；
    （2）图1-图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
    归纳与猜想：
    设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜数学公式°）；
    （3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
    （4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

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    课题：探求直角梯形剪开后进行旋转、平移操作的相关问题。如图l，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形纸片，测得AB =10，AD =8。观察计算：
    (l)将△EFG的顶点 G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度，探索发现。  
    (2)如图3，在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分而积为y，求在平移的过程中，y与x之间的函数关系式，并求当重叠部分面积为20时，平移距离x的值。  

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    课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
    实验与论证：
    设旋转角∠A1AB1=α（α＜∠A1AA2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

    （1）用含α的式子表示解的度数：θ3=______，θ4=______，θ5=______；
    （2）图1-图4中，连接AH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
    归纳与猜想：
    设正n边形AA1A2…An-1与正n边形AB1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形AB1B2…Bn-1绕顶点A逆时针旋转α（0°＜α＜°）；
    （3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
    （4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

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    曲线y=
    -0.5(x-2)2+2，(0≤x≤2)
    0.5(x-4)2，(2≤x≤4)
    与x轴围成的面积（即图中阴影部分的面积）是多少？下面是课堂教学上同学们的看法，其中最佳答案是（　　）
    A、曲线不是圆弧，我们没有学过相关的方法，求不出来
    B、既然老师出了这道题，肯定是我们能求出来的，哪个神仙来做
    C、我们可以试一试，也许用面积分割的方法能求出来，我猜是4
    D、
    我想出来了，是4；连接OA、OB，作AC⊥OB于C，OC=BC=AC=2，△OAB是等腰直角三角形，又因为分段的两部分对应的二次项系数的绝对值相等，所以这两段抛物线的形状相同，它们自变量的取值长度也相等，都是2，所以分割的部经过剪切，旋转，平移可以填补，就象图中这样，原来的阴影部分面积等于等腰Rt△OAB，也等于那个正方形的面积，是4

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