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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）二次函数的图象经过三点.

    （1）求函数的解析式（2）求函数在区间上的最大值和最小值

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    （本小题满分12分）已知等比数列{an}中， 

       （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

       （Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明:；

       （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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    （本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

       （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

       （Ⅱ）求的单调区间.

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    （本小题满分12分）

    甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为

       （Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

       （Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望.

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    （本小题满分12分）已知是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，且，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并且与椭圆交于不同的两点A、B.

       （1）求椭圆的标准方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

       （2）当时，求弦长|AB|的取值范围.

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    一、选择题：每小题5分，共60分.

    （1）D     （2）A     （3）D      （4）A     （5）B      （6）C 

    （7）C     （8）C     （9）B      （10）B    （11）D      （12）D

    二、填空题：每小题4分，共16分.

    （13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]

    三、解答题：共74分.

    （17）（本小题12分）

    解：

         

    故该函数的最小正周期是；最小值是－2；

    单增区间是[]，

    （18）（本小题12分）

          解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4

                 用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，

    则P（AK）=独立.

    故

     

    从而有分布列：

     

                0     1       2        3        4

     

        P                          

                

                 （II）

                 答：停车时最多已通过3个路口的概率为.

       （I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

    故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

    又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

    证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

    又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

    而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

    故MF⊥PC，

    因此MF是AB与PC的公垂线.

          （II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，

            垂足H在BE上.

                   易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

                   又OH⊥BE，故OH//DE，

                   因此OH⊥面MAE.

                   连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 

                   设AB=a，则PA=3a， .

                   因Rt△ADE~Rt△PDA，故

                  

                  

    （20）（本小题12分）

          解：（I）

          

                 因此是极大值点，是极小值点.

                 （II）因

           

                 又由（I）知

                

                 代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得

           

    （21）（本小题12分）

       解法一：由题意，直线AB不能是水平线，  故可设直线方程为：.

       又设，则其坐标满足

          由此得  

         

          因此.

          故O必在圆H的圆周上.

          又由题意圆心H（）是AB的中点，故

         

          由前已证，OH应是圆H的半径，且.

          从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.

          此时，直线AB的方程为：x=2p.

          解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p

          又设，则其坐标满足

       分别消去x，y得

          故得A、B所在圆的方程

          明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，

          又知A、B中点H的坐标为

          故

          而前面圆的方程可表示为

          故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

          又，

          故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.

          解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

          又直径|AB|=

          上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.

          此时直线AB的方程为x=2p.

    （22）（本小题14分）

          （I）证法一：当不等式成立.

                    

                     综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.

                     证法二：当n=1时，.结论成立.

                     假设n=k时结论成立，即

                     当的单增性和归纳假设有

                    

                     所以当n=k+1时，结论成立.

                     因此，对一切正整数n均成立.

                     证法三：由递推公式得

                    

                     上述各式相加并化简得 

                    

          （II）解法一：

            

                     解法二：

    I

                     解法三：

                             

                     故.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


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