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    (一) 问题提出 我经常在思考:长期以来.我们的学生为什么对数学不感兴趣.甚至害怕数学.其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上.数学学习应该与学生的生活融合起来.从学生的生活经验和已有的知识背景出发.让他们在生活中去发现数学.探究数学.认识并掌握数学.这节课我不从电影院的引例入手,因为电影院的座位不一定成 列 ,很多是前后交错的.而从学生最熟悉的环境入手.从最近出现的一个问题(学生家长会.家长找座位)开始.抽象出一个数学问题----如何描述平面上点的位置?运用数学与现实结合的思想来激发学生的思维兴奋点.努力使“冰冷而美丽 的数学知识转化为学生“火热的思考 .这样提出问显得自然而有现实意义.达到了教学内容的“心理化 目的.提高了学生学习的信心和兴趣. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)


    【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
    【问题解决】如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

    解：由图可知：，．
    ∴．
    ∵a≠b，∴＞0．
    ∴M－N＞0．∴M＞N．
    【类比应用】(1)已知：多项式M ＝2a2－a＋1 ，N ＝a2－2a ．
    试比较M与N的大小．
    (2)已知：如图2，锐角△ABC (其中BC为a ，AC为 b，
    AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，
    使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点，第三个顶点落
    在长方形的这一边的对边上。
     
    ①这样的长方形可以画     个；
    ②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？
    【拓展延伸】 已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

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    【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．

    【问题解决】如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

    解：由图可知：，．

    ∴．

    ∵a≠b，∴＞0．

    ∴M－N＞0．∴M＞N．

    【类比应用】(1)已知：多项式M ＝2a2－a＋1 ，N ＝a2－2a ．

    试比较M与N的大小．

    (2)已知：如图2，锐角△ABC (其中BC为a ，AC为 b，

    AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，

    使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点，第三个顶点落

    在长方形的这一边的对边上。

     

    ①这样的长方形可以画     个；

    ②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？

    【拓展延伸】 已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

     

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    问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N。
    问题解决：如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小。
    解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab，
    ∴M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2，
    ∵a≠b，
    ∴（a-b）2＞0，
    ∴M-N＞0，
    ∴M＞N。
    类别应用：
    （1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低。
    （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）。
    联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由。

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    问题提出：   
    我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小. 而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”：就是通过作差、变形. 并利用差的符号来确定它们的大小，即耍比较代数式 M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0；则 M<N.    
    问题解决：    
    如图①.把边长为 a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是 a、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和 M与两个矩形面积之和N 的大小.类比应用：
    (1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克、元/千克(a·b是正数.且a≠b)，试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低.   
    (2)试比技图②、图③两个矩形的周长 M, 、N, 的大小(b>c).

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    （2013•德州一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
    （1）求证：直线BF是⊙O的切线；
    （2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．

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