教学难点: ①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系,一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件. ②在列一元二次方程的方法解应用题时.分析题意找等量关系是难点,注意求解后.检验根是否符合实际意义. [典型例题] 例1. 分解因式 ① ② ③ ④ ⑤ 分析:前四个均为二次三项式或二元二次三项式的因式分解.直接用公式进行分解. 其中为方程的两根. .其中为关于x的方程的两根. 第五个用平方差公式.再用公式法分解二次三项式. 解:①令 ∴ ②解法1:令.则 ∴ 解法2: 解法3: ③令.解这个关于x的方程得: ∴ ④∵ ∴不能因式分解.在实数范围. ⑤ ∵令.无实根. ∴在实数范围内不能分解因式. ∵令 ∴ ∴ 点拨:②中三种方法各有千秋.公式法.配方法.十字相乘法.注意结果写成幂的形式.③二元时选其中一元为主元.另一元为已知数.即可.注意最终结果的简洁形式.④⑤中都要考虑二次三项式可在实数范围内因式分解的条件是:.⑤要综合应用.并注意因式分解必须彻底. 例2. 分解因式: 分析:形如的多项式.叫关于x.y的二元二次多项式.它的因式分解有三种方法:①双十字相乘法.②待定系数法.③公式法. 解:解法1: ∵ ∴ 解法2:设比较对应项系数 ∴ 解法3:整理为关于x的二次三项式令.则 ∴ ∴ 例3. 黄岗百货商店服装柜销售中发现:“宝乐牌童装平均每天可售出20件.每件盈利40元.为迎接“六·一 .商场决定降价.扩大销售量.增加盈利.减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元.那么每天平均可多售8件.要想每天平均在销售这种童装上盈利1200元.那么每件童装应降价多少元? 分析:经济类问题应用.要切实理解减少库存是本题需要. 解:设每件童装应降价x元.根据题意. 解得: 因要减少库存.∴. 答:每件童装应降价20元. 例4. 某中学的校办工厂的年产值1998年是50万元.年年增加.到2000年达60.5万元.问(1)平均每年的年产值增长率是多少?(2)三年总产值多少? 分析:储蓄中复利计本利和与生产值增长率问题.假设年利率为x.本金a.则n年后本利和为.增长率亦如此. 解:(1)设每年平均增长率x.则1999年产值万元.2000年产值万元. 由题意: 解得: 答:平均每年增长率为10%. (2) 答:1998至2000年这三年总产值为165.5万元. 点拨:注意舍去不合题意的根.别忽略(2)的计算与做答. 例5. 两个连续偶数积为288.求这两个数. 分析:两个连续偶数差2.可设x.. 解:设这两个偶数分别为x.x+2.根据题意. 解得: 答:这两个连续偶数是16.18或-18.-16. 点拨:如果两个连续奇数也可这样设.但更好的设法是: .就有 ∴更简单. 例6. 一个矩形的硬纸片.它的长比宽的2倍少4厘米.在它的四个角上各剪去一个边长为2厘米的正方形.然后折成一个无底的小盒子.如果这个小盒的体积为484立方厘米.求原来矩形纸片的长和宽. 分析:设原矩形宽为x厘米.那么长厘米.在四个角各剪去一个边长为2厘米的正方形折成无盖小盒.则小盒底面宽为厘米.长为厘米.高为2厘米. 解:设原矩形纸片的宽为x厘米.则长为厘米.根据题意列方程.得: ∴ ∴ 答:原矩形纸片的长为26厘米.宽为15厘米. 点拨:列一元二次方程可解决体面积有关的应用题.注意舍根. 例7. 一个直角三角形.斜边.两条直角边长相差.求这个直角三角形的两条直角边的长. 分析:在Rt△中.三边a.b.c满足.这是构造方程的相等关系. 解:设一条直角边长为x cm.则另一条边长为. 根据题意列方程解得 . 答:两条直角边长分别是8cm和4cm. 点拨:很多几何题求边时.用方程思想解决.而相等关系多由勾股定理提供.掌握本题很重要.体现了“几何问题代数化 . 例8. 用100cm的金属丝.作成矩形的框子.使面积分别为(1)500cm2,(2)625cm2,(3)800cm2.是否办得到.求出它的长和宽. 分析:可列方程组解决面积问题. 解:设矩形长为x.则 (1) 由为方程的两根. 答:面积为500cm2时.长约是36.2cm.宽约是13.8cm. (2) 易知x.y是方程的两根. 答:面积为625cm2时.长是25cm.宽也是25cm.围成边长25cm的正方形. (3) x.y为方程的两根. 无实根. 答:面积800cm2.周长100cm的矩形不存在. 点拨:解题后.思考三小题:用100cm长的铁丝围成500cm2的矩形做成了,再围大点.面积625cm2.围成了正方形,再大点.面积800cm2.围不成.长度有限的铁丝怎能围出要多大.有多大的矩形呢!当正方形时面积达到最大值. ［总结扩展］ (1)用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根.再将形式. (2)二次三项式因式分解的条件是:当.二次三项式在实数范围内可以分解,时.二次三项式在实数范围内不可以分解. (3)联系所学知识总结出遇见二次三项式因式分解的步骤:①首先考虑能否提取公因式,②其次考虑能否选用十字相乘法,③最后考虑公式法. (4)通过二次三项式因式分解的学习.提高分析问题.解决问题的能力,通过结论探索.发现.推导.产生的过程.培养学生的探索精神.激发学生的求知欲望.对学生进行辩证唯物主义思想教育.渗透认识事物的一般规律. (5)注意:①在进行类似分解因式时.千万不要漏掉字母y,②因式分解一定进行到不能再分解为止,③分解时注意二次三项式因式分解的条件. (6)“一元二次方程的应用是“一元一次方程的应用的继续和发展.由于用一元一次方程解的应用题.一般都可以用算术方法解.而用一元二次方程来解的应用题.一般说是不能用算术法来解的.所以.通过学习大家要认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性. (7)列方程解应用题的方法来说.列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似.都是根据问题中的相等关系列出方程.解方程.判断根是否适合题意.作出正确的答案.列出一元二次方程.其应用相当广泛.如在几何.物理及其他学科中都有大量问题存在. (8)善于将实际问题转化为数学问题.严格审题.弄清各数据相互关系.正确布列方程.由此培养学生用数学的意识.渗透转化与方程的思想方法. (9)进一步体会数字在实践中的应用.培养学生分析问题.解决问题的能力. [模拟试题] 【查看更多】

我国著名数学家苏步青在访问德国时，德国一位数学家给他出了这样一道题目：
甲、乙二人相对而行，他们相距10千米，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一条狗，狗每小时跑5千米，狗跑得快，它同甲一起出发，碰到乙的时候向甲跑去，碰到甲的时候又向乙跑去，问当甲、乙两人相遇时，这条狗一共跑了多少千米？
苏步青教授很快就解出了这道题目．同学们，你知道他是怎么解的吗？
这道题最让人迷惑不解的是甲身边的那条狗．如果我们先计算狗从甲的身边跑到乙的身边的路程s，再计算狗从乙的身边跑到甲的身边的路程s，…，显然把狗跑的路程相加，这样很繁琐，笨拙且不易计算．苏教授从整体着眼，根据甲、乙出发到相遇经历的时间与狗所走的时间相等，即10÷（3+2）=2（小时），这样就不难求出狗一共跑的路程是：5×2=10（千米）．
苏步青教授在解题时，把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而能触及问题的实质：狗从出发到甲、乙两相遇所用的时间，恰好是甲、乙二人相遇所用的时间，从而使问题得到巧妙地解决．苏教授这种解决问题的思想方法实际上就是数学中的整体思想的应用．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，捷足先登．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用．
比如解方程组

x+2(x+2y)=4

x+2y=1

解：把②代入①得x+2×1=4，所以x=2
把x=2代入②得2+2y=1，解之，得y=-

1

2

所以方程组的解为

x=2

y=-

1

2

同学们，你会用同样的方法解下面两个方程吗？试试看！
（1）

2x-3y-2=0

2x-3y+5

7

+2y=9

（2）

x-3y

3

-

1

3

=1

2x-

x-3y

x

=5

．

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我国著名数学家苏步青在访问德国时，德国一位数学家给他出了这样一道题目：
甲、乙二人相对而行，他们相距10千米，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一条狗，狗每小时跑5千米，狗跑得快，它同甲一起出发，碰到乙的时候向甲跑去，碰到甲的时候又向乙跑去，问当甲、乙两人相遇时，这条狗一共跑了多少千米？
苏步青教授很快就解出了这道题目．同学们，你知道他是怎么解的吗？
这道题最让人迷惑不解的是甲身边的那条狗．如果我们先计算狗从甲的身边跑到乙的身边的路程s，再计算狗从乙的身边跑到甲的身边的路程s，…，显然把狗跑的路程相加，这样很繁琐，笨拙且不易计算．苏教授从整体着眼，根据甲、乙出发到相遇经历的时间与狗所走的时间相等，即10÷（3+2）=2（小时），这样就不难求出狗一共跑的路程是：5×2=10（千米）．
苏步青教授在解题时，把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而能触及问题的实质：狗从出发到甲、乙两相遇所用的时间，恰好是甲、乙二人相遇所用的时间，从而使问题得到巧妙地解决．苏教授这种解决问题的思想方法实际上就是数学中的整体思想的应用．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，捷足先登．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用．
比如解方程组 $数学公式$
解：把②代入①得x+2×1=4，所以x=2
把x=2代入②得2+2y=1，解之，得y=- $数学公式$
所以方程组的解为 $数学公式$
同学们，你会用同样的方法解下面两个方程吗？试试看！
（1） $数学公式$ （2） $数学公式$ ．

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我国著名数学家苏步青在访问德国时，德国一位数学家给他出了这样一道题目：
甲、乙二人相对而行，他们相距10千米，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一条狗，狗每小时跑5千米，狗跑得快，它同甲一起出发，碰到乙的时候向甲跑去，碰到甲的时候又向乙跑去，问当甲、乙两人相遇时，这条狗一共跑了多少千米？
苏步青教授很快就解出了这道题目．同学们，你知道他是怎么解的吗？
这道题最让人迷惑不解的是甲身边的那条狗．如果我们先计算狗从甲的身边跑到乙的身边的路程s，再计算狗从乙的身边跑到甲的身边的路程s，…，显然把狗跑的路程相加，这样很繁琐，笨拙且不易计算．苏教授从整体着眼，根据甲、乙出发到相遇经历的时间与狗所走的时间相等，即10÷（3+2）=2（小时），这样就不难求出狗一共跑的路程是：5×2=10（千米）．
苏步青教授在解题时，把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而能触及问题的实质：狗从出发到甲、乙两相遇所用的时间，恰好是甲、乙二人相遇所用的时间，从而使问题得到巧妙地解决．苏教授这种解决问题的思想方法实际上就是数学中的整体思想的应用．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，捷足先登．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用．
比如解方程组

x+2(x+2y)=4

x+2y=1

把②代入①得x+2×1=4，所以x=2
把x=2代入②得2+2y=1，解之，得y=-

1

2

所以方程组的解为

x=2

y=-

1

2

同学们，你会用同样的方法解下面两个方程吗？试试看！
（1）

2x-3y-2=0

2x-3y+5

7

+2y=9

（2）

x-3y

3

-

1

3

=1

2x-

x-3y

x

=5

．

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