题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分15分)
已知函数,其中, (),若相邻两对称轴间的距离不小于.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)在中,分别是角的对边,,当最大时,,求的面积.
(本小题满分15分)
某旅游商品生产企业,2009年某商品生产的投入成本为1元/件,
出厂价为流程图的输出结果元/件,年销售量为10000件,
因2010年国家长假的调整,此企业为适应市场需求,
计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每件投入成本增加的
比例为(),则出厂价相应提高的比例为,
同时预计销售量增加的比例为.
已知得利润(出厂价投入成本)年销售量.
(Ⅰ)写出2010年预计的年利润
与投入成本增加的比例的关系式;
(Ⅱ)为使2010年的年利润比2009年有所增加,
问:投入成本增加的比例应在什么范围内?
(本小题满分15分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.
(1)设,把y表示成的函数关系式;
(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?
(本小题满分15分)如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其右焦点为F.若点P(-1,1)为圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明:直线PQ与圆O相切.
(本小题满分15分)已知等差数列{an}中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3,a2+5>a4,数列{bn}满足,其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求正整数m的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
2
9
充分不必要
4
①②④
9
10
11
12
13
14
或0
点P在圆内
①②③
15.解: (1)因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为:
所以低于50分的人数为(人)………………………………………….5分
(2)依题意,成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于50分的为第一组),
频率和为
所以,抽样学生成绩的合格率是%.
于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为%……………………………………9分.
(3)“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人,他们成绩至少有一个不低于50分的概率为: ……………14分
16.解:(1),
即,
∴,∴.
∵,∴.………………………………………………………………7分
(2)mn ,
|mn|.
∵,∴,∴.
从而.
∴当=1,即时,|mn|取得最小值.
所以,|mn|.………………………………………………………………14分
17.(1)证明:E、P分别为AC、A′C的中点,
EP∥A′A,又A′A平面AA′B,EP平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 证明:∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC
∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分
注:直角三角形条件在证这两问时多余了,可直接用两侧面的直角三角形证明即可。
18.解:(1)取弦的中点为M,连结OM
由平面几何知识,OM=1
得:,
∵直线过F、B ,∴则 …………………………………………6分
(2)设弦的中点为M,连结OM
则
解得
∴ …………………………………………15分
(本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得)
19.
第(3)问的构造法可直接用第二种方法,作差后用代换即可。
20.解:(1)由方程组的解为不符合题设,可证。………3分
(2)假设存在。
由方程组,得,即…5分
设(),可证:当时,单调递减且;当时,单调递减且。
,设,则。………7分
①当时,,递增,故,
于是,在上单调递减。
设,则,在上递增,,即,所以。………9分
②当时,,递减,故,
于是,在上单调递减。
,在上递减,,即,所以
由函数()的性质可知满足题设的不存在。………11分
(3)假设1,,是一个公差为的等差数列的第r、s、t项,又是一个等比为等比数列的第r、s、t项。于是有:,
,
从而有, 所以。
设,同(2)可知满足题设的不存在………16分
注:证法太繁,在第二问中,可用来表示,消去可得,则构造易得到极值点为。
附加题参考答案
附1.(1)设M=,则有=,=,
所以且 解得,所以M=.…………………………5分
(2)任取直线l上一点P(x,y)经矩阵M变换后为点P’(x’,y’).
因为,所以又m:,
所以直线l的方程(x+2y)-(3x+4y)=4,即x+y+2=0.………………………………10分
附2.解:以有点为原点,极轴为轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1),,由得.
所以.
即为圆的直角坐标方程.
同理为圆的直角坐标方程. ……………………………………6分
(2)由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为. …………………………10分
附3.(1)设P(x,y),根据题意,得.
化简,得.………………………………………………………………5分
(2).……………………………………10分
附4.(1)记事件A为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知 ………………………………4分
(2)ξ可取1,2,3,4. ,
;………………8分
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
答:ξ的数学期望为 …………10分
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