题目列表(包括答案和解析)
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袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为．
（1）求袋中黑球的个数及得2分的概率；
（2）设所得分数为
．
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袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球(球的大小均相同)，从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为
，则袋中黑球的个数为________．
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一、填空题：
1．
2． 
3．
4．12
5．
6．11 7．
8．2009
9．4个 10．①②
11．解: 
。因为△ABC的面积为1, 
,所以,△ABE的面积为
,因为D是AB的中点,所以, △BDE的面积为
,因为
,所以△BDF的面积为
,当且仅当
时,取得最大值。
二、选择题：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答题：
16．解：(Ⅰ)因为
点的坐标为
，根据三角函数定义可知
，
，
，
2分
所以
4分
(Ⅱ)因为三角形
为正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
8分
所以
。
11分
17．解：方法一：（I）证明：连结OC，因为
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
4分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角， 5分
在
中，
因为
是直角斜边AC上的中线，所以
所以
所以异面直线AB与CD所成角的大小为
。
8分
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
，因为
9分
在
中，
所以
而
所以
，
所以点E到平面ACD的距离为
。
12分
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立直角坐标系，则
，设
的夹角为
，则
所以异面直线AB与CD所成角的大小为。
（III）解：设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。又 
所以点E到平面ACD的距离 
。
18．解：（Ⅰ）由年销售量为
件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润
分别为：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因为
所以
为增函数，
，所以
时，生产A产品有最大利润为
（万美元）
7分
又
，所以
时，生产B产品
有最大利润为460（万美元） 9分
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：
11分
所以：当
时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;
当
时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当
时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分
19．解：（1）当
时，
，
成立，所以
是奇函数；
3分
当
时，
，这时
所以是非奇非偶函数；
6分
（2）当
时，
设
且
,则
9分
当
时，因为且，所以
所以
，
，所以是区间
的单调递减函数。 12分
同理可得是区间
的单调递增函数。
14分
20．解：（Ⅰ）由抛物线
：
知
，设
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知椭圆的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为
。 7分
（另法：因为在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以点O到直线
的距离为
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面视提出问题的质量而定：
如问题一：当
面积为
时，求直线的方程。（
） 得2分
问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（
） 得4分
21．解：(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由题意知数列
的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,
6分
从而
=
8分
=
。
10分
（3）当
时，因为
,
所以
12分
当
时，
因为，所以
，
14分
当
时，
所以
。
16分
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