如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，

DF

DE

=λ1，

AE

AC

=λ2，且λ1+λ2=

1

2

，记△BDF的面积为S=f （λ₁，λ₂，），则S的最大值是

 

．

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如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，且λ2+λ3-λ1=

1

2

，则△BDF的面积S的最大值是（　　）

A、 1 2

B、 1 3

C、 1 4

D、 1 8

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如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，且λ2+λ3-λ1=

1

2

，记△BDF的面积为s=f（λ₁，λ₂，λ₃），则S的最大值是（　　）
【注：必要时，可利用定理：若a，b，c∈R⁺，则abc≤(

a+b+c

3

)3，（当且仅当a=b=c时，取“=”）】

A． 1 2

B． 1 3

C． 1 4

D． 1 8

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如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，

DF

DE

=λ1，

AE

AC

=λ2，且λ1+λ2=

1

2

，记△BDF的面积为S=f （λ₁，λ₂，），则S的最大值是______．

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如图所示，已知D是面积为1的三角形ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE,F是线段DE上一点，连接BF，设=λ₁,=λ₂,=λ₃，且λ₂+λ₃-λ₁=，记△BDF的面积为S=f(λ₁,λ₂,λ₃)，则S的最大值是

A.                    B.                    C.                 D.

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一、填空题：

1．   2．    3．     4．12     5．     6．11    7．     8．2009         9．4个    10．①②

11．解: 。因为△ABC的面积为1, ,所以,△ABE的面积为,因为D是AB的中点,所以, △BDE的面积为,因为,所以△BDF的面积为,当且仅当时,取得最大值。

二、选择题：

12．B    13．C     14．D     15．D

三、解答题：

16．解：(Ⅰ)因为点的坐标为，根据三角函数定义可知，，，                                            2分

所以                                                4分

(Ⅱ)因为三角形为正三角形，所以，，，                                                     5分

所以

                                               8分

所以

。                                        11分

17．解：方法一：（I）证明：连结OC，因为所以      

又所以，                               2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                 4分

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，          5分

在中，因为是直角斜边AC上的中线，所以所以所以异面直线AB与CD所成角的大小为。                                                       8分

（III）解：设点E到平面ACD的距离为，因为

                                                                     9分

在中， 所以

而所以，

所以点E到平面ACD的距离为。                                   12分

方法二：（I）同方法一。

（II）解：以O为原点，如图建立直角坐标系，则 ，设的夹角为，则所以异面直线AB与CD所成角的大小为。

（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。又 所以点E到平面ACD的距离       。

 18．解：（Ⅰ）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因为所以为增函数，

，所以时，生产A产品有最大利润为（万美元）                         7分

又，所以时，生产B产品

有最大利润为460（万美元）                                        9分

现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

  11分

所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;

     当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

     当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分

19．解：（1）当时， ，成立，所以是奇函数；

3分

当时，，这时所以是非奇非偶函数；                                                            6分

（2）当时，设且,则

                  9分

当时，因为且，所以

所以，

，所以是区间 的单调递减函数。 12分

同理可得是区间 的单调递增函数。                           14分

20．解：（Ⅰ）由抛物线：知，设，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知椭圆的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合题意，舍去）．

故椭圆的方程为。                                      7分

（另法：因为在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以点O到直线的距离为

，又，

所以，

且。                                      10分

下面视提出问题的质量而定：

如问题一：当面积为时，求直线的方程。（）      得2分

问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（）       得4分

21．解：(1)

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                     4分

（2）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,                              6分

从而=                     8分

    =。                  10分

（3）当时，因为,                       

 所以                                12分

当时，

因为，所以，                      14分

当时，

所以。                                                   16分