题目列表(包括答案和解析)
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知函数的反函数。定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”;若函数与互为反函数,则称满足“积性质”。
(1) 判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3) 设函数对任何,满足“积性质”。求的表达式。
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,
第3小题满分7分.
已知双曲线.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)已知点的坐标为.设是双曲线上的点,是点关于原点的对称点.
记.求的取值范围;
(3)已知点的坐标分别为,为双曲线上在第一象限内的点.记为经过原点与点的直线,为截直线所得线段的长.试将表示为直线的斜率的函数.
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分、第3小题满分6分.
设,常数,定义运算“”:,定义运算“”: ;对于两点、,定义.
(1)若,求动点的轨迹;
(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点,若,试求的值;
(3)在(2)中条件下,若直线不过原点且与轴交于点S,与轴交于点T,并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q , 试求的取值范围.
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数的反函数.定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”;若函数与互为反函数,则称满足“积性质”.
(1) 判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3) 设函数对任何,满足“积性质”.求的表达式.
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分。
已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F,一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线,且a与l的距离为,求K的值;
(3)证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为。
一、填空题:
1. 2. 3. 4.12 5. 6.11 7. 8.2009 9.4个 10.①②
11.解: 。因为△ABC的面积为1, ,所以,△ABE的面积为,因为D是AB的中点,所以, △BDE的面积为,因为,所以△BDF的面积为,当且仅当时,取得最大值。
二、选择题:
12.B 13.C 14.D 15.D
三、解答题:
16.解:(Ⅰ)因为点的坐标为,根据三角函数定义可知,,, 2分
所以 4分
(Ⅱ)因为三角形为正三角形,所以,,, 5分
所以
8分
所以
。 11分
17.解:方法一:(I)证明:连结OC,因为所以
又所以, 2分
在中,由已知可得 而
所以所以即,
而 所以平面。 4分
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角, 5分
在中,因为是直角斜边AC上的中线,所以所以所以异面直线AB与CD所成角的大小为。 8分
(III)解:设点E到平面ACD的距离为,因为
9分
在中, 所以
而所以,
所以点E到平面ACD的距离为。 12分
方法二:(I)同方法一。
(II)解:以O为原点,如图建立直角坐标系,则 ,设的夹角为,则所以异面直线AB与CD所成角的大小为。
(III)解:设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。又 所以点E到平面ACD的距离 。
18.解:(Ⅰ)由年销售量为件,按利润的计算公式,有生产A、B两产品的年利润分别为:
且 2分
所以 5分
(Ⅱ)因为所以为增函数,
,所以时,生产A产品有最大利润为(万美元) 7分
又,所以时,生产B产品
有最大利润为460(万美元) 9分
现在我们研究生产哪种产品年利润最大,为此,我们作差比较:
11分
所以:当时,投资生产A产品200件可获得最大年利润;
当时,生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润;
当时,投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分
19.解:(1)当时, ,成立,所以是奇函数;
3分
当时,,这时所以是非奇非偶函数; 6分
(2)当时,设且,则
9分
当时,因为且,所以
所以,
,所以是区间 的单调递减函数。 12分
同理可得是区间 的单调递增函数。 14分
20.解:(Ⅰ)由抛物线:知,设,在上,且,所以,得,代入,得,
所以。 4分
在上,由已知椭圆的半焦距,于是
消去并整理得 , 解得(不合题意,舍去).
故椭圆的方程为。 7分
(另法:因为在上,
所以,所以,以下略。)
(Ⅱ)由得,所以点O到直线的距离为
,又,
所以,
且。 10分
下面视提出问题的质量而定:
如问题一:当面积为时,求直线的方程。() 得2分
问题二:当面积取最大值时,求直线的方程。() 得4分
21.解:(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
(2)由题意知数列的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1, 6分
从而= 8分
=。 10分
(3)当时,因为,
所以 12分
当时,
因为,所以, 14分
当时,
所以。 16分
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