题目列表(包括答案和解析)
如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
（Ⅲ）求点到平面
的距离．
如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求异面直线
与
所成角余弦值的大小；
（Ⅲ）求点到平面
的距离．
如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离。
如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
（Ⅲ）求点到平面
的距离．
如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求异面直线
与
所成角余弦值的大小；
（Ⅲ）求点到平面
的距离．
一、填空题：
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．2009 9．4个 10．①② 11．
二、选择题：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答题：
16．解：(Ⅰ)因为
点的坐标为
，根据三角函数定义可知
，
，
， 2分
所以
4分
(Ⅱ)因为三角形
为正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
7分
所以
。
11分
17．方法一：（I）证明：连结OC，因为
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
5分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角， 7分
在
中，
因为
是直角斜边AC上的中线，所以
所以
所以异面直线AB与CD所成角的大小为
。
12分
18．解：（Ⅰ）由年销售量为
件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润
分别为：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因为
所以
为增函数，
，所以
时，生产A产品有最大利润为
（万美元）
又
，所以
时，生产B产品
有最大利润为460（万美元） 8分
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：
10分
所以：当
时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;
当
时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当
时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分
19．解：（1）当
时，
，
成立，所以
是偶函数；
3分
当
时，
，这时
所以是非奇非偶函数；
6分
（2）当
时，
设
且
,则
9分
当时，因为且，所以
所以
，
，所以是区间
的单调递减函数。 14分
20．解：（Ⅰ）由抛物线
：
知
，设
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知椭圆的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为
。
7分
（另法：因为在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以点O到直线
的距离为
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面视提出问题的质量而定：
如问题一：当
面积为
时，求直线的方程。（
） 得2分
问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（
） 得4分
21．解：(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由题意知数列
的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,
6分
从而
=
8分
=
10分
（3）证明：①若
,则题意成立，
12分
②若
,此时数列的前若干项满足
,即
，
设
,则当
时,
，
从而此时命题成立； 14分
③若
,由题意得
,则由②的结论知此时命题也成立，
综上所述,原命题成立。 16分
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