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    (3)证明:对于数列.一定存在.使. 2007学年度四校质量调研 高三数学试卷 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的。
    （1）若f（x）=x2+3x和g（x）=-3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
    （2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
    （3）试利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列条件：
    ①是偶函数；②有最小值1；求出函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）。

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    （本小题满分13分）

    对于定义域分别为的函数，规定：

    函数

    若函数,求函数的取值集合；

    若，设为曲线在点处切线的斜率；而是等差数列，公差为1，点为直线与轴的交点，点的坐标为。求证：；

    若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。

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    （本题满分15分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”

       （I）证明：函数是集合M中的元素；

       （II）证明：函数具有下面的性质：对于任意，都存在，使得等式成立。 

    （III）若集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。试用这一性质证明：对集合M中的任一元素，方程只有一个实数根。

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    （本题满分15分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”
    （I）证明：函数是集合M中的元素；
    （II）证明：函数具有下面的性质：对于任意，都存在，使得等式成立。 
    （III）若集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。试用这一性质证明：对集合M中的任一元素，方程只有一个实数根。

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    解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    设函数y＝f(x)定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对于任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)成立数列(an)满足a1＝f(0)，且(n∈N*)。

    (1)

    求f(0)的值

    (2)

    求数列{an}的通项公式

    (3)

    是否存在正数k，使对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由。

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    一、填空题：

    1．   2．    3．    4．    5．    6．   7．    8．2009     9．4个     10．①②    11． 

    二、选择题：

    12．B    13．C    14．D    15．D

    三、解答题：

    16．解：(Ⅰ)因为点的坐标为，根据三角函数定义可知，  

    ，，                                                          2分

    所以                                                4分

    (Ⅱ)因为三角形为正三角形，所以，，，                                                  5分

    所以

                                                   7分

    所以

    。                                        11分

    17．方法一：（I）证明：连结OC，因为所以

    又所以，                                    2分

    在中，由已知可得 而

    所以所以即，

    而       所以平面。                                    5分

    （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

    所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，              7分

    在中，因为是直角斜边AC上的中线，所以所以                          

    所以异面直线AB与CD所成角的大小为。                           12分

    18．解：（Ⅰ）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：

    且         2分

    所以                      5分

    （Ⅱ）因为所以为增函数，

    ，所以时，生产A产品有最大利润为（万美元）                         

    又，所以时，生产B产品

    有最大利润为460（万美元）                                            8分

    现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

      10分

    所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;

         当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

         当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分

    19．解：（1）当时， ，成立，所以是偶函数；

                                                                             3分

    当时，，这时所以是非奇非偶函数；                                                           6分

    （2）当时，设且,则

                      9分

    当时，因为且，所以

    所以，

    ，所以是区间 的单调递减函数。  14分

    20．解：（Ⅰ）由抛物线：知，设，在上，且，所以，得，代入，得，

    所以。                                                      4分

    在上，由已知椭圆的半焦距，于是

    消去并整理得  ， 解得（不合题意，舍去）．

    故椭圆的方程为。                                      7分

    （另法：因为在上，

    所以，所以，以下略。）

    （Ⅱ）由得，所以点O到直线的距离为

    ，又，

    所以，

    且。                                      10分

    下面视提出问题的质量而定：

    如问题一：当面积为时，求直线的方程。（）      得2分

    问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（）       得4分

    21．解：(1)

    2

    3

    35

    100

    97

    94

    3

    1

                                                                             4分

    （2）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,                                  6分

    从而=                         8分

        =                        10分

    （3）证明：①若,则题意成立，                                   12分

    ②若,此时数列的前若干项满足,即，

    设,则当时,，

    从而此时命题成立；                                                       14分

    ③若,由题意得,则由②的结论知此时命题也成立，

    综上所述,原命题成立。                                                     16分

     

     

     


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