如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

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（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；
（3）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，点P到直线AG的距离最大？求出此时P点的坐标和点P到直线AG的最大距离．

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得△BOD∽△BAC？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）²+k的图象与x轴相交于点A，B，顶点为C，点D在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形．求此二次函数的表达式．

如图：在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，顶点B（4，2）在抛物线y=ax²+bx上，且抛物线交x轴于另一点D（6，0），抛物线的对称轴交BC边于E，直线AE分别交y轴于F、交OB于P．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）若以点O为圆心，OP为半径作⊙O，试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若动直线MN⊥x轴于N交抛物线于M，且在y轴的右侧运动，是否存在点M使得△AMN与△ABP相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．