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    2．不定方程 不定方程的问题主要有两大类:判断不定方程有无整数解或解的个数,如果不定方程有整数解.采取正确的方法.求出全部整数解. (1) 不定方程解的判定 如果方程的两端对同一个模m不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数.偶数两种.因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. 例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解. 证明 ∵2x2=5y2+7.显然y为奇数. ① 若x为偶数.则 ∴ ∵方程两边对同一整数8的余数不等. ∴x不能为偶数. ② 若x为奇数.则 但5y2+7 ∴x不能为奇数.因则原方程无整数解. 说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法. 例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程 ① 证明 如果有整数x.y使方程①成立. 则 =知(2x+3y2)+5能被17整除. 设2x+3y=17n+a.其中a是0.±1.±2.±3.±4.±5.±6.±7.±8中的某个数.但是这时2+5=(17n)2+34na+(a2+5)=a2+5.而a2+5被17整除得的余数分别是5.6.9.14.4.13.7.3.1.即在任何情况下2+5都不能被17整除.这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x.y使①成立. 例7 满足方程x2+y2=x3的正整数对. 无限个(E)上述结论都不对 解由x2+y2=x3得y2=x2(x-1). 所以只要x-1为自然数的平方.则方程必有正整数解.令x-1=k2,则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D). 说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解. (2) 不定方程的解法 不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法.因式分解法.不等式法.奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路. 例6 求方程的整数解. 解原方程配方得2+y2=132. 在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即,,,.故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解 解得 例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c. 证明∵a2+b2=c2. ∴a2=. 又∵a为素数.∴c-b=1.且c+b=a2. 于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b. 即＜.而a≥3,∴≤1.∴＜1.∴a＜b. 例9(第35届美国中学数学竞赛题)满足联立方程 的正整数. 3 (E)4 解由方程ac+bc=23得 (a+b)c=23=1×23. ∵a.b.c为正整数.∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得 =0, ∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组有两个,即,应选(C). 例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解. 解 由(y-2)x=2y-7,得 分离整数部分得 由x为整数知y-2是3的因数, ∴y-2=±1.±3.∴x=3.5.±1. ∴方程整数解为 例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. 解方程有整数解 必须△=(y+1)2-4(y2-y)≥0.解得 ≤y≤. 满足这个不等式的整数只有y=0.1.2. 当y=0时.由原方程可得x=0或x=1,当y=1时.由原方程可得x=2或0,当y=2时.由原方程可得x=1或2. 所以方程有整数解 最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子. 例12 求满足方程且使y是最大的正整数解(x.y). 解将原方程变形得 由此式可知.只有12-x是正的且最小时.y才能取大值.又12-x应是144的约数.所以. 12-x=1.x=11.这时y=132. 故 满足题设的方程的正整数解为 . 例13(第35届美国中学生数学竞赛题)满足0＜x＜y及的不同的整数对. 4 (E)7 解法1 根据题意知.0＜x＜1984.由 得 当且仅当1984x是完全平方数时.y是整数.而1984=26·31.故当且仅当x具有31t2形式时.1984x是完全平方数. ∵x＜1984.∵1≤t≤7.当t=1.2.3时.得整数对分别为和.当t＞3时y≤x不合题意.因此不同的整数对的个数是3.故应选(C). 解法2 ∵1984=∴由此可知:x必须具有31t2形式.y必须具有31k2形式.并且t+k=8.因为0＜x＜y.所以t＜k.当t=1.k=7时得,t=2.k=6时得,当t=3.k=5时得.因此不同整数对的个数为3. 练习二十 【查看更多】

     

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