(1)什么叫方程?什么叫方程的解和解方程?你能举一个一元一次方程的例子吗? 回答老师提出的问题并自由举例. 学生头脑中再现有关一元一次方程的知识.为学习二元一次方程做铺垫. 【查看更多】

一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答．

老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：

．

学生甲：老师，这个方程先去括号，在合并同类项，行吗？

老师：这样原方程可整理为，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察，看看这个方程有什么特点？

学生乙：老师，我发现方程中是整体出现的，最好不要去括号！

教师：很好，我国我们把看成一个整体，用表示，即，那么原方程就变成了．

全体学生：(同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？

老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程的根是，，那么就有或．

学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根是，，，．嗬，有这么多解啊！

老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低方程的次数，这是一种重要的转化方法．

全体学生：OK，换元法真神奇!

现在，请你用换元法解下列分式方程：

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在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(

x

x-1

)2-4(

x

x-1

)+4=0．
学生甲：老师，原方程可整理为

x2

(x-1)2

-

4x

x-1

+4=0，再去分母，行得通吗？
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师，我发现

x

x-1

是整体出现的！
老师：很好，我们把

x

x-1

看成一个整体，用y表示，即可设

x

x-1

=y，那么原方程就变为y²-4y+4=0．
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y-2）²=0
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y²-4y+4=0的根是y=2，那么就有

x

x-1

=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x=2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
（1）(

2x

x-1

)2-

4x

x-1

+1=0
（2）

6

x-y

+

4

x+y

=3

9

x-y

-

1

x+y

=1

．

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在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(

x

x-1

)2-4(

x

x-1

)+4=0．
学生甲：老师，原方程可整理为

x2

(x-1)2

-

4x

x-1

+4=0，再去分母，行得通吗？
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师，我发现

x

x-1

是整体出现的！
老师：很好，我们把

x

x-1

看成一个整体，用y表示，即可设

x

x-1

=y，那么原方程就变为y²-4y+4=0．
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y-2）²=0
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y²-4y+4=0的根是y=2，那么就有

x

x-1

=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x=2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
（1）(

2x

x-1

)2-

4x

x-1

+1=0
（2）

6

x-y

+

4

x+y

=3

9

x-y

-

1

x+y

=1

．

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在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x²-x）²-（x²-x）+12=0
学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：老师，我发现x²-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好，我们把x²-x看成一个整体，用y表示，即x²-x=y，那么原方程就变为y²+8y+12=0．
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y²+8y+12=0的根是y₁=6，y₂=2，那么就有x²-x=6或x²-x=2．
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有这么多根啊！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程：(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0．

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在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x²-x）²-（x²-x）+12=0
学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：老师，我发现x²-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好，我们把x²-x看成一个整体，用y表示，即x²-x=y，那么原方程就变为y²+8y+12=0．
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y²+8y+12=0的根是y₁=6，y₂=2，那么就有x²-x=6或x²-x=2．
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有这么多根啊！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程： $数学公式$ ．

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