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如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为S=

π

4

lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）

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如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高。本题结果精确到0.1米）。

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说明

 1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

一、（第1题到第12题）

（1）p          （2）            （3）－49              （4）

（5）arctg2       （6）[1，3]         （7）        （8）（a₁>0，0<q<1的一组数）

（9）         （10）2.6            （11）4p                （12）|PF₂|=17

二、（第13题至第16题）

（13）C     （14）D     （15）D    （16）B 

三、（第17题至第22题）

（17）[解]  |z₁?z₂| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|

    故|z₁?z₂|的最大值为，最小值为．

（18）[解]连结BC，因为B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD．

在△BCD中，BC=2，CD=4，

所以

又因为直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B₁DB＝30°，于是

故平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的体积为

（19）[解]（1）

（2）归纳概括的结论为：

若数列｛a_n｝是首项为a₁，公比为q的等比数列，则

，n为整数．

证明：

（20）[解]（1）如图建立直角坐标系，则点p（11，4.5），

椭圆方程为

将b=h＝6与点p坐标代入椭圆方程，得，此时

因此隧道的拱宽约为33.3米．

（2）由椭圆方程

     得 

     因为即ab≥99，且l＝2a，h＝b，

所以

当S取最小值时，有，得

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米，土方工程量最小．

[解二]由椭圆方程得

于是

即ab≥99，当S取最小值时，有

得以下同解一．

（21）[解]（1）设，则由即得

或     因为

所以  v－3>0，得  v＝8，故 

（2）由得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：（x－3）²＋（y＋1）²＝10，

得圆心（3，－1），半径为

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则

得

故所求圆的方程为（x－1）²＋（y－3）²＝10．

（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

得

即x₁、x₂为方程的两个相异实根，

于是由得

故当时，抛物线y =ax²－1上总有关于直线OB对称的两点．

（22）[解]（1）对于非零常数T，f （x+T）=x+T，Tf （x）＝Tx．

        因为对任意x∈R，x+T =Tx不能恒成立，

        所以f （x）＝x  M ．

（2）因为函数f （x）=a^x （a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组： 有解，消去y得a^x=x，

显然x=0不是方程的a^x=x解，所以存在非零常数T，使a^T=T．

于是对于f （x）=a^x ，有

f （x＋T）=a^x+T = a^T?a^x=T?a^x =T f （x），

故f （x）=a^x∈M．

（3）当k=0时，f （x）=0，显然f （x）=0∈M．

当k≠0时，因为f （x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，

对任意x∈R，有

f （x＋T）= T f （x）成立，即sin（kx＋kT）= T sinkx．

因为k≠0时，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，

于是sinkx∈[－1，1]，sin（kx＋kT） ∈[－1，1]，

故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立，只有T=±1．

当T＝1时，sin（kx＋k）= sinkx成立，则k=2mp，m∈Z．

当T＝－1时，sin（kx－k）= －sinkx成立，

即sin（kx－k＋p） = sinkx成立，

则－k＋p =2mp，m∈Z，即k= －（2m－1） p，m∈Z．

综合得，实数k的取值范围是{k | k= mp，m∈Z }．