例1．已知P是一次函数y=-x+1图象上的一点.二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1.问点N是否在函数y=-图象上. 分析:P是图象上一点.说明P适合关系式y=-x+1.代入则可得到关于m,n的一个关系.二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根.则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1.又可得到关于m, n的一个关系.两个关系联立成方程组.可解出m, n.这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见. 解:∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上. ∴ n=-m+1, ∴ m+n=1. 设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2, ∴x12+x22=1, 又∵x1+x2=-m, x1x2=n, ∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1 由解这个方程组得:或. 把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0, x2-3x+4=0, Δ<0. ∴ m=-3, n=4. 把m=1, n=0代入x2+mx+n=0, x2+x=0, Δ>0 ∴点N. 把点N代入y=-,当x=2时.y=-3≠-1. ∴点N不在图象y=-上. 说明:这是一道综合题.包括二次函数与一次函数和反比例函数.而且需要用到代数式的恒等变形.与一元二次方程的根与系数关系结合.求出m.n值后.需检验判别式.看是否与x轴有两个交点.当m=-3, n=4时.Δ<0.所以二次函数与x轴无交点.与已知不符.应在解题过程中舍去.是否在y=-图象上.还需把点代入y=-.满足此函数解析式.点在图象上.否则点不在图象上. 例2．直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上.若抛物线顶点到y轴的距离为2.求此抛物线的解析式. 分析:两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组.方程组的解既为交点坐标. 解:∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上. 由解这个方程组.得x=±1. ∴当x=1时.y=-1. 当x=-1时.y=1. 经检验:.都是原方程的解. 设两交点为A.B.∴A. 又∵抛物线顶点到y轴的距离为2.∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2. 当对称轴为直线x=2时. 设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.又∵过A. ∴ 解方程组得 ∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)2- 即 y=x2-x-. 当对称轴为直线x=-2时.设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k, 则有解方程组得. ∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)2+ y=-x2-x+. ∴所求抛物线解析式为:y=x2-x-或y=-x2-x+. 说明:在求直线和双曲线的交点时.需列出方程组.通过解方程组求出x, y值.双曲线的解析式为分式方程.所以所求x, y值需检验.抛物线顶点到y轴距离为2.所以对称轴可在y轴左侧或右侧.所以要分类讨论.求出抛物线的两个解析式. 例3.已知∠MAN=30°.在AM上有一动点B.作BC⊥AN于C.设BC的长度为x.△ABC的面积为y.试求y与x之间的函数关系式. 分析:求两个变量y与x之间的函数关系式.就是想办法用x表示y,.BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC. 解:如图在Rt△ABC中. ∵∠A=30°.∠BCA=90° BC=x. ∴AC=BC=x ∴ 说明:在含有30°.45°.60°的直角三角形中.应注意利用边之间的特殊倍数关系(如AC=BC). 例4.如图.锐角三角形ABC的边长BC＝6.面积为12.P在AB上.Q在AC上.且PQ∥BC.正方形PQRS的边长为x.正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y. (1)当SR恰落在BC上时.求x. (2)当SR在△ABC外部时.求y与x间的函数关系式, (3)求y的最大值. 略解:(1)由已知.△ABC的高AD=4. ∵△APQ∽△ABC. 设AD与PQ交于点E ∴ ∴ ∴ (2)当SR在△ABC的外部时. 同样有. 则.即AE= ∴y=ED·PQ＝x(4-)=-2+4x() (3)∵a=-<0,y=-其中, ∴当x=3时,y取得最大值6. 说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内. 例5．某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的.为牢固起见.每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管作成的立柱.为了计算所需不锈钢管立柱的总长度.设计人员利用图二所示的坐标系进行计算. (1)求该抛物线的解析式, (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度. 分析:图中给出了一些数量.并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系. 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组.因为对称轴是 y轴.所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c. 解:(1)在如图所示坐标中.设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为. 分别代入y=ax2+c得: .解得抛物线的解析式为:y=-0.5x2+0.5 (2)分别过AC的五等分点.C1.C2.C3.C4.作x轴的垂线.交抛物线于B1.B2.B3.B4.则C1B1.C2B2.C3B3.C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长.点C3.C4的坐标为.则B3.B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6. 将x3=0.2和x4=0.6分别代入 y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32 由对称性得知.B1.B2点的纵坐标:y1=0.32,y2=0.48 四条立柱的长为:C1B1=C4B4=0.32(m) C2B2=C3B3=0.48(m) 所需不锈钢立柱的总长为 ×2×50=80(m). 答:所需不锈钢立柱的总长为80m. 1.函数y=ax2+a与y=在同一坐标系中的图像可能是:( ) 分析:当a>0时.函数y=ax2+a与y=的图象应满足性质图象y=ax2+a ①开口向上,②与y轴交点在y轴正半轴,③对称轴为y轴图象y=应满足双曲线在一.三象限从A.C中.A明显不合题意.对称轴不是y轴 C中抛物线与y轴交点不在y轴的正半轴当a<0时.从B.D中选择. a<0图象y=ax2+a特点是①开口向下,②对称轴y轴,③与y轴交点在y轴的负半轴. 图象y=特点.双曲线在二.四象限. 故选D.也可以一个个图象依次分析. 2..B.D.试问.是否存在一个二次函数.使它的图像同时经过这四点.如果存在.请求出它的解析式,如果不存在.请说明理由. 分析:可以通过三点先确定一个抛物线.再考察第四个点是否满足抛物线的解析式.若满足.则可确定同时过四点的抛物线,若不满足.则不存在同时过四点的抛物线. 解:设二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A.B.D三点则.解得即二次函数y=x2-5x+6的图像通过A.B.D三点.经计算C的坐标也满足上式.因此点D也在此函数图像上.故存在一个二次函数y=x2-5x+6.它的图象同时经过A.B.C.D四点. 3.已知:一次函数y=2x+k-3和反比例函数y=的图像都经过点A求n的值和这个一次函数的解析式, (2)在下边的坐标系中画出这两个函数的大致图像根据图像判断:使这两个函数的值的都为非负数的自变量x的取值范围是 . (1)解:∵的图像过点A(n.2), ∴2= ∴n=2 ∵一次函数的图像过点A(2,2), ∴2=4+k-3, ∴k=1 ∴它的解析式为y=2x-2 (2)(画出两个函数的大致图像各得1分) (3)x≥1. 4.如图.已知抛物线与x轴负半轴交于A.B两点.与y轴交于点C.且.求抛物线的解析式和它的顶点坐标. 分析:确定抛物线的解析式.通常需要三个条件.图中已知一些线段OB.CB的长.并知道∠CAO=30°.由此可以求出A.B.C三点坐标. 解:在RtΔBOC中.. ∴ 在RtΔAOC中.∠CAO=30 ∴ ∴A.B.C(0.3) (注意:将线段的长度转化为点的坐标时.一定要根据条件添加符号,反过来将坐标转化为线段的长度时.要加绝对值.) ∵A.B.C三点在抛物线上 ∴.解得 ∴抛物线的解析式为: ∵y=x2+x+3=(x2+4x+9)=[(x+2)2-(2)2+9]=(x+2)2-1 ∴抛物线的顶点坐标为 5.一河流每小时流入水库2千m3水.到春天需由水库开闸放水灌溉麦田.若开闸时水库恰好蓄水2亿m3.并且开闸时每小时放水4千m3. (1)求水库的蓄水量y与灌溉时间t之间的函数关系式, (2)已知每公顷小麦灌溉一次大约需用水1千m3.若水库的畜水量在灌溉期间其存水量必须不能少于100万m3水.这样.求水库的水最多能连续灌溉多少公顷麦田. 分析:此题是函数方面的应用题.所谓函数.就是两个变量之间的关系.与列方程一样.将两个变量之间的关系列出.另外一定要注意题目中的数量换算. 在解题时可将水的单位统一为千m3 解:t =200000-2t.(y的单位是千m3) (2)200000-2t≥1000 ∴t≤99500 灌溉1公顷麦田需用时间t'=小时 ∴995000÷=3980000 答:水库的水最多能连续灌溉3980000公顷麦田. 5.设x1.x2是方程2x2-4mx+(2m2-4m-3)=0的两个实数根. (1)若y=,求y与m之间的函数关系式及自变量m的取值范围, 题中函数y的图像.观察图像.说明函数y有没有最小值或最大值.如果有.求出最大值或最小值,如果没有.说明理由. 解:(1)x1+x2=2m,x1x2=m2-2m- ∵△=(-4m)2-4×2×(2m2-4m-3) =16m2-16m2+32m+24 =32m+24 由△≥0.得m≥-.∴y=2m2+4m+3(m≥-) (2)画图略.观察图像可知.当m≥-时.y随m的增大而增大. ∴m=-时.y有最小值为.y没有最大值.(正确画出图像.得2分.“有最小值 .“没有最大值各1分). 函数思想的应用函数的实质是研究两个变量之间的对应关系.灵活运用好函数思想能解决许多数学问题. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知是一次函数的图象上的两个点，则的大小关系是