定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离，已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点。
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____，
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为______；
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M。
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值，使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
