..10=100a^2+20a, 111...1=10a^2+2a 因为左端为奇数.右端为偶数.所以左右两端不相等. 若111...1^2.同理. 综上所述.不可能是完全平方数. 另证:由为奇数知.若它为完全平方数.则只能是奇数的平方.但已证过.奇数的平方其十位数字必是偶数.而十位上的数字为1.所以不是完全平方数. [例4]:从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个? 分析:有奇数个约数为完全平方数.即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数. 解:从200到1800的自然数中.完全平方数有15^2.16^2.--.42^2.共有42―15+1=28个数满足题意. [例5]:用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数? 解:设由300个2和若干个0组成的数为A.则其数字和为600 3︱600 ∴3︱A 此数有3的因子.故9︱A.但9︱600.∴矛盾.故不可能有完全平方数. [例6]:试求一个四位数.它是一个完全平方数.并且它的前两位数字相同.后两位数字也相同. 解:设此数为aabb.则:aabb=a0b*11 此数为完全平方.则必须是11的倍数.因此11︱a + b.而a,b为0,1,2,9.故共有,(9,2)等8组可能. 直接验算.可知此数为7744=88. [例7]:求满足下列条件的所有自然数: (1)它是四位数. (2)被22除余数为5. (3)它是完全平方数. 解:设22n+5=N^2.其中n,N为自然数.可知N为奇数. N^2-16=11=11 11︱N - 4或11︱N + 4 N=*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 经试数可知.此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025. [例8]:有两个数.它们各个数位的数字从左到右越来越大.其中一个六位数是另一个数的平方.求这两个数. 解:由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6.∵123456=3×8^3×643不是完全平方数.又因为完全平方数个位只能是0.1.4.5.6.9.∴这个六位数的个位只能是9.∴另一个数的个位只能是3或7.并且另一个数是大于300的三位数.∵数字从左到右越来越大.∴个位数只能是7.∴可能有347.357.367.457.467.经检验.只有367^2=134689符合. [例9]:甲.乙两人合养了n头羊.而每头羊的卖价又恰为n元.全部卖完后.两人分钱方法如下:先由甲拿十元.再由乙拿十元.如此轮流.拿到最后.剩下不足十元.轮到乙拿去.为了平均分配.甲应该补给乙多少元? 解:n头羊的总价为n^2元.由题意知n^2元中含有奇数个10元.即完全平方数n^2的十位数字是奇数.如果完全平方数的十位数字是奇数.则它的个位数字一定是6.所以.n^2的末位数字为6.即乙最后拿的是6元.从而为平均分配.甲应补给乙2元. [例10]:矩形四边的长度都是小于10的整数.这四个长度数可构成一个四位数.这个四位数的千位数字与百位数字相同.并且这四位数是一个完全平方数.求这个矩形的面积. 解:设矩形的边长为x,y.则四位数 N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11 ∵N是完全平方数.11为质数 ∴x+y能被11整除. 又由分析可得x+y=11. ∴N=11^2*∴9x+1是一个完全平方数.验算知x=7满足条件. 又由x+y=11得y=4.∴S=xy=28cm^2. [例11]:少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡.这些灯泡或明或暗.十分有趣. 这200个灯泡按1-200编号.它们的亮暗规则是: 第一秒.全部灯泡变亮, 第二秒.凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗, 第三秒.凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态.即亮的变暗.暗的变亮, 一般地.第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态. 这样继续下去.每4分钟一个周期.问:第200秒时.明亮的灯泡有多少个? 分析:灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关.最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次.而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数.因此约数个数为奇数个的编号.灯泡亮着.即编号为完全平方数的灯泡符合题意. 解:某个灯泡.如果它的亮暗变化的次数是奇数.那么它是明亮的.根据题意可知.号码为K的灯泡.亮暗变化的次数等于K的约数的个数.若K的约数的个数是奇数.则K一定是平方数.所以200秒时.那些编号是平方数的灯泡是明亮的.因为200以内有14个平方数.所以200秒时明亮的灯泡有14个. [例12]:“1993与一个三位数的和是一个完全平方数.这样的三位数有多少个? 解:设满足题目需求的平方数为χ.则由 45^2<1993+100<46^2. 54^2<1993+999<55^2.可知 45^2<1993+100≤χ≤1993+999<55^2 其中共有46^2.47^2.--.54^2这9个完全平方数. ∴共有9个三位数符合要求. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

15、一列数为1、4、7、10、13…第111个数是（　　）

A、331

B、333

C、111

D、330

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