设a>0，求函数的单调区间，并且如果有极值时，求出极值。

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一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

（1）B      （2）D     （3）D      （4）B      （5）B       （6）C

（7）B      （8）C     （9）D      （10）C     （11）B      （12）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

（13）      （14）6，30，10    （15）120      （16）①④⑤

三、解答题：

（17）本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能，满分12分．

解（I）

         所以函数的最小正周期为π，最大值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

1

1

故函数在区间上的图象是

（18）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．

解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角．

设F为AB中点，连结EF、FC，

∵ D、E分别是CC₁、A₁B的中点，又DC⊥平面ABC，

∴ CDEF为矩形．

连结DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF．

在直角三角形EFD中，

，

∵ EF＝1，∴   ……4分

于是

∵  ∴

∴

∴ A₁B与平面ABC所成的角是

（Ⅱ）连结A₁D，有

∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，

∴ ED⊥平面A₁AB．

设A₁到平面AED的距离为h．

则  

又    

∴ 

即A₁到平面AED的距离为

解法二： （Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A₁BG是A₁B与平面ABD所成的角．

如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，则 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A₁(2a，0，2)，E(a，a，1)，．

∴ ，．

∴ ，解得 a＝1．

∴ ，．

∴ ．

A₁B与平面ABD所成角是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A₁(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

，

，

∴ ED⊥平面AA₁E，又EDÌ平面AED，

∴ 平面AED⊥平面AA₁E，又面AED面AA₁E＝AE，

∴ 点A₁在平面AED的射影K在AE上．

设 ，

则 ．

由 ，即l+l+l－2＝0，

解得 ．

∴ ．

∴ ．

故A₁到平面AED的距离为．

（19）本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．满分12分．

解：．

当a>0，x>0时

f ¢(x)>0Ûx²+(2a－4)x+a²>0，

f ¢(x)<0Ûx²+(2a－4)x+a²<0．

（?）当a > 1时，对所有x > 0，有

x²+(2a－4)x+a²>0，

即f ¢(x)>0，此时f(x)在（0，+∞）内单调递增．

（?）当a＝1时，对x≠1，有

x²+(2a－4)x+a²>0，

即f ¢(x)>0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增．

又知函数f(x)在x＝1处连续，因此，函数f(x)在（0，+∞）内单调递增．

（?）当0<a<1时，令f ¢(x)>0，即

x²+(2a－4)x+a²>0，

解得，或．

因此，函数f(x)在区间内单调递增，在区间内也单调递增．

令f ¢(x)<0，即x²+(2a－4)x+a² < 0，

解得

．

因此，函数f(x)在区间内单调递减．

（20）本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分．

解：（Ⅰ）x，h的可能取值分别为3，2，1，0．

，

，

，

；

根据题意知x+h=3，所以

，

，

，

．

（Ⅱ）；

因为 x +h＝3，

所以 ．

（21）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分．

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．

∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，

∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．

因此，直线OP和AP的方程为

ly=ax 和 y－a＝－2lax．

消去参数l，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)=­－2a²x²，

整理得  ．      ①

因为a>0，所以得：

（?）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（?）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点：

（?）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．

（22）本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分．

（Ⅰ）证法一：（?）当n＝1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

（?）假设当n＝k（k≥1）等式成立，即

，

那么

，

也就是说，当n＝k+1时，等式也成立．

根据（?）和（?），可知等式对任何n∈N₊成立．

证法二：如果设a_n－a3ⁿ=－2(a_n－1－a3^n－1)，

用代入，可解出．

所以是公比为－2，首项为的等比数列．

∴ （n∈N₊），

即 ．

（Ⅱ）解法一：由a_n通项公式

，

∴ a_n>a_n－1（n∈N₊）等价于

（n∈N₊）．      ①

（?）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，①式即为

，

即为 ．               ②

②式对k＝1，2，…都成立，有

．

（?）当n＝2k，k＝1，2，…时，①式即为

，

即为 ．

③式对k＝1，2，…都成立，有

．      ②

综上，①式对任意n∈N₊成立，有．

故a₀的取值范围为（0，）．

解法二：如果a_n>a_n－1（n∈N₊）成立，特别取n＝1，2有

a₁－a₀=1－3a₀>0，

a₂－a₁=6a₀>0，

因此  ．

下面证明当时，对任意n∈N₊，有a_n－a_n－1>0．

由a_n通项公式

．

（?）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，

＝0．

（?）当n＝2k，k＝1，2，…时，

≥0．

故a₀的取值范围为（0，）．