已知：如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为(0，3)BC＝2AB，P为AD边上一动点(与点A、D不重合)，以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E．当点P运动到点P₁位置时，直线l恰好经过点B此时直线的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的长；

(2)设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

(3)以点E为圆心作⊙E与x轴相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围；

②当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并请说明理由．

已知：如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x²-6mx+m²+4=0的两根，并且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在直线的解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作x轴的平行线，交y轴于F，交BC于D，过D点作y轴的平行线，交x轴于点E，使S_矩形FOED=S_梯形AOBC？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．