解:(1)由==.及.得=3 -------- .4分 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知椭圆C:的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,则称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比.已知椭圆C1以抛物线的焦点为一个焦点,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)若椭圆C2与椭圆C1相似,且相似比为2,求椭圆C2的方程.
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任一点,若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点,证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)已知直线l:y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直线l上,B,D在曲线Cb上,若存在求出函数f(b)=SABCD的解析式及定义域,若不存在,请说明理由.

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如图,,…,,…是曲线上的点,,…,,…是轴正半轴上的点,且,…,,… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形(为坐标原点).

(1)写出之间的等量关系,以及之间的等量关系;

(2)求证:);

(3)设,对所有恒成立,求实数的取值范围.

【解析】第一问利用有得到

第二问证明:①当时,可求得,命题成立;②假设当时,命题成立,即有则当时,由归纳假设及

第三问 

.………………………2分

因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即

解:(1)依题意,有,………………4分

(2)证明:①当时,可求得,命题成立; ……………2分

②假设当时,命题成立,即有,……………………1分

则当时,由归纳假设及

解得不合题意,舍去)

即当时,命题成立.  …………………………………………4分

综上所述,对所有.    ……………………………1分

(3) 

.………………………2分

因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即

.……………2分

由题意,有. 所以,

 

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如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,的交点,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面

(Ⅲ)求二面角的大小.

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又平面平面,∴平面,又,∴平面. 可得证明

(3)因为∴为面的法向量.∵

为平面的法向量.∴利用法向量的夹角公式,

的夹角为,即二面角的大小为

方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点

,又点,∴

,且不共线,∴

平面平面,∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵

,即

,∴平面.   ………8分

(Ⅲ)∵,∴平面

为面的法向量.∵

为平面的法向量.∴

的夹角为,即二面角的大小为

 

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已知函数

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)设,若对任意,不等式 恒成立,求实数的取值范围.

【解析】第一问利用的定义域是     

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是

第二问中,若对任意不等式恒成立,问题等价于只需研究最值即可。

解: (I)的定义域是     ......1分

              ............. 2分

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是     ........4分

(II)若对任意不等式恒成立,

问题等价于,                   .........5分

由(I)可知,在上,x=1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,

故也是最小值点,所以;            ............6分

当b<1时,

时,

当b>2时,;             ............8分

问题等价于 ........11分

解得b<1 或 或    即,所以实数b的取值范围是 

 

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已知点),过点作抛物线的切线,切点分别为(其中).

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若以点为圆心的圆与直线相切,求圆的方程;

(Ⅲ)若直线的方程是,且以点为圆心的圆与直线相切,

求圆面积的最小值.

【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。

中∵直线与曲线相切,且过点,∴,利用求根公式得到结论先求直线的方程,再利用点P到直线的距离为半径,从而得到圆的方程。

(3)∵直线的方程是,且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径,即,借助于函数的性质圆面积的最小值

(Ⅰ)由可得,.  ------1分

∵直线与曲线相切,且过点,∴,即

,或, --------------------3分

同理可得:,或----------------4分

,∴. -----------------5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,则的斜率

∴直线的方程为:,又

,即. -----------------7分

∵点到直线的距离即为圆的半径,即,--------------8分

故圆的面积为. --------------------9分

(Ⅲ)∵直线的方程是,且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径,即,    ………10分

当且仅当,即时取等号.

故圆面积的最小值

 

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