题目列表(包括答案和解析)
如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R.
(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=(不需证明).
(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
已知:如图所示,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点(与A、B不重合),QP⊥AB,垂足为P,直线QA交⊙O于C点,过C点作⊙O的切线交直线QP于点D,则△CDQ是等腰三角形.对上述命题证明如下:
证明:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠1.
∵CD切⊙O于C点,
∴∠OCD=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∴∠A+∠2=90°.
在Rt△QPA中,∠QPA=90°,
∴∠A+∠Q=90°.
∴∠2=∠Q.∴DQ=DC.
即△CDQ是等腰三角形
问题:对上述命题,当点P在BA的延长线上时,其他条件不变,如图所示,结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
已知:如图所示,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点(与A、B不重合),QP⊥AB,垂足为P,直线QA交⊙O于C点,过C点作⊙O的切线交直线QP于点D,则△CDQ是等腰三角形.对上述命题证明如下:
证明:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠1.
∵CD切⊙O于C点,
∴∠OCD=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∴∠A+∠2=90°.
在Rt△QPA中,∠QPA=90°,
∴∠A+∠Q=90°.
∴∠2=∠Q.∴DQ=DC.
即△CDQ是等腰三角形
问题:对上述命题,当点P在BA的延长线上时,其他条件不变,结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
阅读材料,解答问题.
①如图(1)已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过A作AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF理由是:∵四边开ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=,BO=AO.又∵AG⊥EB,∠1+∠3=
=∠2+∠3∴∠1=∠2,∴Rt△BOE≌Rt△AOF解答此题后某同学产生了如下猜想:对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,AG交EB的延长线于G,AG的延长线交DB的延长线于F,其它条件不变,如图,则仍有OE=OF.问猜想所得的结论是否成立,请说明理由.
②已知:E、F分别是平行四边形ABCD的边AD和BC的中点,并且2AB=BC,G是AF和BE的交点,H是CE和DF的交点.(1)试探求四边形GFHE的形状;并说明理由.(2)若四边形GFHE是正方形,平行四边形ABCD应满足什么条件?
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