如图，直线y=

3

x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，抛物线L：y=ax²+bx+c的顶点G在x轴上，且过（0，4）和（4，4）两点．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）抛物线L上是否存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，若存在，请求出C点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线L沿x轴平行移动得抛物线L₁，其顶点为P，同时将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，使点D落在抛物线L₁上．试问这样的抛物线L₁是否存在，若存在，求出L₁对应的函数关系式，若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+

5

与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．
（1）求点D的坐标；
（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；
（3）若以动点为E圆心，以2

5

为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=

1

8

？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是，点C的坐标是；
（2）当t=秒或秒时，MN=

1

2

AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是，点C的坐标是；
（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．