如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．

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如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论。

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平面上的点M关于直线l有唯一的轴对称点M′，这样平面上的任意一点就与该点关于这条直线的轴对称点之间建立了一种对应关系，我们把这种对应关系叫做点M关于直线l的轴对称变换，记为M

M(l)

M′(l)，点M的轴对称点就记为M′（l），如图（1）所示．如果先作平面上的点M关于直线l的轴对称变换M

M(l)

M′(l)，得到对应点M′（l），然后，再作M′（l）关于另外一条直线m的轴对称变换M′(l)

M(m)

Mn(l，m)，这样点M就与该点关于直线l和m的轴对称点M′′（l，m）之间建立了一种对应关系，我们把这种对应关系就叫做点M关于直线l和m的轴对称变换，记为M′(l)

M(m)

Mn(l，m)，M的对应点就记为M′′（l，m）．如图（2），M是平面上的一点，直线l、m相交所成的角为θ（0°＜θ≤90°），且交点为O，请回答如下问题：
（1）在图（2）中，求作M′（l）和M′′（l，m）．（要求保留作图痕迹）
（2）当θ=

 

°时，M与M′′（l，m）关于点O成中心对称．
（A）30（B）45（C）60（D）90
（3）（在以下两题中任选一题作答）
①试探讨∠MOM′′（l，m）与θ之间的数量关系，并证明你的结论．
②试探讨OM与OM′′（l，m）间的数量关系，并证明你的结论．

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平面上的点M关于直线l有唯一的轴对称点M′，这样平面上的任意一点就与该点关于这条直线的轴对称点之间建立了一种对应关系，我们把这种对应关系叫做点M关于直线l的轴对称变换，记为，点M的轴对称点就记为M′（l），如图（1）所示．如果先作平面上的点M关于直线l的轴对称变换，得到对应点M′（l），然后，再作M′（l）关于另外一条直线m的轴对称变换，这样点M就与该点关于直线l和m的轴对称点M′′（l，m）之间建立了一种对应关系，我们把这种对应关系就叫做点M关于直线l和m的轴对称变换，记为，M的对应点就记为M′′（l，m）．如图（2），M是平面上的一点，直线l、m相交所成的角为θ（0°＜θ≤90°），且交点为O，请回答如下问题：
（1）在图（2）中，求作M′（l）和M′′（l，m）．（要求保留作图痕迹）
（2）当θ=______°时，M与M′′（l，m）关于点O成中心对称．
（A）30（B）45（C）60（D）90
（3）（在以下两题中任选一题作答）
①试探讨∠MOM′′（l，m）与θ之间的数量关系，并证明你的结论．
②试探讨OM与OM′′（l，m）间的数量关系，并证明你的结论．

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

B

D

C

A

C

A

二、填空题（每小题3分，共30分）

9．             10．45          11．（0，2）        12．①，②，④    

13．        14．45          15．            16．65       

17．            18．－2≤a≤2

三、（每小题8分，共32分）

19．（1）解：原式=……………………………………………………2分

=……………………………………………………………3分

=2．…………………………………………………………………4分

（2）解：原式=…………………………2分

 ………………………………………………………3分

．………………………………………………………………4分

20．解: （1）△ACE≌△A₁C₁ E₁，△OBE≌△O₁B₁ E₁．????????????????????????????????? 2分

   （2）∵△ABC≌△A₁B₁C₁，

∴AC＝ A₁C₁ ，BC＝ B₁C₁………………3分

∴A C₁＝A₁ C ， ………………………………4分

已知∠A＝∠A₁ ，∠ACE＝∠A₁C₁ E₁ ＝90°，

∴△ACE≌△A₁C₁ E₁， ,…………………………6分

∴CE＝C₁ E₁，…………………………………………………………………………7分

又∵BC＝ B₁C₁ ，

∴B₁E₁＝ BE．…………………………………………………………………………8分

21．解：（1）P（抽到偶数）=；…………………………………………………3分

（2）所有可能两位数列举如下：12，13，21，23，31，32．…………………6分

这个两位数是奇数的概率是．………………………………………………………8分

22．（1）解: ．…………4分

答：这三家大医院3月份出生的总人数中男宝宝的百分比为53%． ……………5分

（2）（人）．………………………………………………8分

答：估计3月份南京共有2650名男宝宝出生．

四、（每题10分，共40分）

23．解：（1）画图． ………………………………4分

（2）画图．  ……………………………………5分

AC=4， ………………………………7分

C旋转到C₁所经过的路线长等于2π．  ……10分

24．解：（1）把A（1，3）代入y＝，得k＝3，  …………………………2分

把B（n，－1）代入y＝，得n＝－3，

所以B（－3，－1）．………………………………4分

把A（1，3），B（－3，－1）代入y＝mx＋b，

解得，m＝1，b＝2． ………………………………6分

所以，反比例函数的关系式是y＝ ，

一次函数的函数关系式是y＝x＋2． …………………………………………8分

（2）点P的坐标可以是（－3，－1）或（3，1）或其它．………………10分

25．解：（1）如图，在中，

(m)．……2分

在中，

(m)，……………4分

m．    ………………………………5分

即改善后的台阶坡面会加长 m．

（2）如图，在中， (m)．………6分

在中，

(m)，……………………………8分

(m)．………………………9分

即改善后的台阶多占.长的一段水平地面． ……………………10分

26．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O相切．…1分

   理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60度到B A′的位置．

         则∠A′BO=30°，

过O作OG⊥B A′垂足为G，

∴OG=OB=2． …………………………3分

        ∴B A′是⊙O的切线．……………………4分

       同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到B A″的位置时，

           B A″也是⊙O的切线．…………………6分

（如只有一个答案，且说理正确，给2分）

   （或：当BA绕点B按顺时针方向旋转到B A′的位置时，BA与⊙O相切，

         设切点为G，连结OG，则OG⊥AB，

∵OG=OB，∴∠A′BO=30°．

∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60度．

同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到B A″的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120度．）

（2）∵MN=，OM=ON=2，

      ∴MN ² = OM ² +ON²，…………………7分

      ∴∠MON=90°．    …………………8分

      ∴的长为=π．…………10分

五、（每题12分，共24分）

27．解：（1）①  ．………………………………………………2分

②  ………6分

     =．………………………………………7分

当x=1时，y有最大值，且最大值为．………………………8分

（2）画法：以B为圆心，BD长为半径画弧，交AB于点E，则点E即为所求…10分

画图正确   …………………………………………………………………12分

28．解：（1）每画对一个给2分．………………………………………………4分

（2）D．……………………………………………………………………………7分

（3）① 判断：．……………………………………8分

证明：如图（1），由轴对称性质可知，垂直平分，

则为等腰三角形．………………………………………………10分

∵．同理，………………………………………………11分

∴．…………………………………………………12分

②判断：．

证明：如图（2），连接、、．

∵M，关于直线成轴对称，

∴是的垂直平分线．

∴．………………………………………………………………10分

同理可得：．……………………………………………11分

∴．…………………………………………………………12分