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    已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点.并且两条渐近线与以点 为圆心.1为半径的圆相切.双曲线C的一个焦点与点A关于直线 对称. (1)求双曲线C的渐近线和双曲线的方程, (2)设直线 与双曲线C的左支交于P.Q两点.另一直线 经过 及线段PQ的中点N.求直线 在 轴的截距 的取值范围. 高2009级第一次诊断性考试数学 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    .（本题满分12分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，并且两条渐近线与以点为圆心、1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线对称. (1)求双曲线C的渐近线和双曲线的方程； (2)设直线与双曲线C的左支交于P、Q两点，另一直线经过及线段PQ的中点N，求直线在轴的截距的取值范围.

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    （本题满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线L与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ。试探究点O到直线L的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

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    （本题满分12分）

    已知点P（-1,）是椭圆E：（）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．

    （1）求椭圆E的方程；

    （2）设A、B是椭圆E上两个动点，（0<λ<4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；

    （3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

     

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    （本题满分12分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，渐近线方程为，且经过点，设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且=64.

    （1）求双曲线的方程；

    （2）求.

     

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    （本题满分12分）
    已知点P（-1,）是椭圆E：（）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设A、B是椭圆E上两个动点，（0<λ<4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
    （3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

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    一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

    1～5  D A B D C    6～10  C A B D B     11～12  C A

    二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

    13. ；     14.21 ；       15.  ；      16. .

    三、解答题（本大题共6小题，共74分）

    17.（本题满分13分）

    解：(1)甲、乙两卫星各自预报一次，记“甲预报准确”为事件A，“乙预报准确”为事件B.则两卫星只有一颗卫星预报准确的概率为：

      … 4分

                 = 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35   …………6分

    答：甲、乙两卫星中只有一颗卫星预报准确的概率为0.35  ………7分

    (2) 甲独立预报3次，至少有2次预报准确的概率为

              …………10分

        ＝ ＝0.896             ………………………12分

    答：甲独立预报3次，至少有2次预报准确的概率为0.896. ……… 13分

    18.（本题满分13分）

    解：(1)∵          …………………2分

             ＝  ＝   ……………6分

          ∴函数 的最小正周期         …………………7分

           又由 可得：

     的单调递增区间形如：   ……9分

    (2) ∵ 时，  ，

     ∴ 的取值范围是               ………………11分

    ∴函数 的最大值是3，最小值是0 

    从而函数 的是                …………13分

    19.（本题满分12分）

    解：(1) ∵    ∴由已知条件可得： ，并且 ，

    解之得： ，                          ……………3分

       从而其首项 和公比 满足：     ………5分

       故数列 的通项公式为：  ……6分

    (2) ∵   

         数列 是等差数列，         …………………………8分

    ∴

           ＝

           ＝ =    …………………10分

        由于 ，当且仅当 最大时， 最大.

            所以当 最大时， 或6        …………………………12分

    20.（本题满分12分）

    解：(1) ∵ 为奇函数    ∴   ………2分

       ∵ ，导函数 的最小值为-12 ∴ ……3分

     又∵直线 的斜率为 ，

    并且 的图象在点P 处的切线与它垂直

    ∴ ，即     ∴        ……………6分

    (2) 由第(1)小题结果可得：

                     ……………9分

       令 ，得            ……………10分

       ∵ ， ，

       ∴ 在 [-1, 3]的最大值为11，最小值为-16.  ………12分

    21.（本题满分12分）

    解：(1) ∵函数 有意义的充要条件为

              ，即是    

     ∴函数 的定义域为          …………3分

    ∵函数 有意义的充要条件为：

    ∴函数 的定义域为      …………5分

    (2)∵由题目条件知  

    ∴ ，                      …………………7分

    ∴c的取值范围是：[－5, 5]           …………………8分

    (3)  即是

        ∵ 是奇函数，∴    ………………9分

    又∵函数 的定义域为 ，并且是增函数

    ∴        ………………11分

    解之得 的取值范围是： =   …………12分

    22.（本题满分12分）

    解：(1) 设双曲线的渐近线方程为 ，即 ，

    ∵双曲线的渐近线与已知的圆相切，圆心到渐近线的距离等于半径

     ∴        

     ∴双曲线的渐近线的方程为：          ……………2分

    又设双曲线的方程为： ，则

     ∵双曲线的渐近线的方程为 ，且有一个焦点为

    ∴  ，          ………………4分

    解之得： ，故双曲线的方程是：   ……………5分

    (2) 联立方程组 ，消去 得： （*）…………6分

      ∵直线与双曲线C的左支交于两点，方程（*）两根 、 为负数，

    ∴         …………8分

    又∵线段PQ的中点 坐标满足

        ，    ……9分

    ∴直线 的方程为： ，

    即是 ，

    直线 在 轴的截距      ……………………11分

    又∵ 时， 的取值范围是：

    ∴直线 的截距 的取值范围是 ……12分

     

     

     

     


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