如图所示，两根不计电阻的金属导线MN与PQ 放在水平面内，MN是直导线，PQ的PQ₁段是直导线，Q₁Q₂段是弧形导线，Q₂Q₃段是直导线，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行．M、P间接入一个阻值R=0.25Ω的电阻．质量m=1.0kg、不计电阻的金属棒AB能在MN、PQ上无摩擦地滑动，金属棒始终垂直于MN，整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．金属棒处于位置（I）时，给金属棒一向右的初速度v₁=4 m/s，同时给一方向水平向右F₁=3N的外力，使金属棒向右做匀减速直线运动；当金属棒运动到位置（Ⅱ）时，外力方向不变，改变大小，使金属棒向右做匀速直线运动2s到达位置（Ⅲ）．已知金属棒在位置（I）时，与MN、Q₁Q₂相接触于a、b两点，a、b的间距L₁=1 m；金属棒在位置（Ⅱ）时，棒与MN、Q₁Q₂相接触于c、d两点；位置（I）到位置（Ⅱ）的距离为7.5m．求：
（1）金属棒向右匀减速运动时的加速度大小；
（2）c、d两点间的距离L₂；
（3）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，电阻R上放出的热量Q．

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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

   1～5  C B D C D     6～10  A C A B B

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.  ；      12 .  ；       13.  31；  

14.  ；       15.  ；             16. - ，0  .

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

17.（本题满分13分）

解：（Ⅰ）当a＝2时，A＝ ，          …………………………2分

B＝                             …………………………4分

∴ A B＝                       …………………………6分

（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－ )2＋ >0，即a2＋1>a

∴B={x|a<x<a2+1}                            ……………………7分

①当3a+1=2，即a= 时A=Φ，不存在a使B A      ……………………8分

②当3a+1>2，即a> 时A={x|2<x<3a+1}

由B A得： 2≤a≤3             …………………10分

③当3a+1<2，即a< 时A={x|3a+1<x<2}

由B A得 －1≤a≤－                   …………………12分

综上，a的范围为：[－1,－ ]∪[2,3]                        …………………13分

18．（本题满分13分）

解：（Ⅰ）由 ………4分

∵

∴ 的值域为[－1，2]           ……………………7分

（Ⅱ）∵

∴

∴                    ………………10分

∴ ………………13分

19. （本题满分13分）

解：（Ⅰ）  ， ，              ……………………2分

设 与 在公共点 处的切线相同

由题意 ，  　

即                               ……………………4分

由 得： ，或 （舍去） 　

即有  　                ……………………6分

（Ⅱ）设 ，……………………7分

则   　           ……………………9分

x 时 <0，x  >0

∴ 在 为减函数，在 为增函数，             ……………………11分

于是函数 在 上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0　    ……………………12分

故当 时，有 ，

所以，当 时，  　                           ……………………13分

20. （本题满分13分）

解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

                          ………………5分

（Ⅱ）                                   …………………6分            

                                                      …………10分

ξ的分布列为：

ξ                     10                  8               6    4

P                                                               

                                           …………13分

21．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）∵ ， ∴      …………………………1分

由y= 解得：               …………………………2分

∴                     ………………………3分

（Ⅱ）由题意得：          …………………………4分

∴                    

∴{ }是以 =1为首项，以4为公差的等差数列. …………………………6分

∴ ，∴ .          ………………………7分

（Ⅲ）∴ ………8分

则

∴

∴ ，∴ {bn}是一单调递减数列.      ………………………10分

∴ ，要使 ，则  ，∴

又kN*  ，∴k8 ，∴kmin=8

即存在最小的正整数k=8，使得                  ……………………12分

22.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由余弦定理得：    ……1分

即16＝

＝ ＝

所以 ，

即   ……………………………………………4分

（当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论）

所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为 的双曲线

所以，轨迹G的方程为         …………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在定点C(m,0),使 为常数.

①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为

    …………………………………………7分

由题意知，

设 ，则 ，   …………………8分

于是

∴

＝              ………………9分

＝

要是使得  为常数，当且仅当 ，此时  ………………11分

②当直线l与x轴垂直时， ,当 时 .

 故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得  为常数. …………………………12分